专题五第2讲 椭圆、双曲线、抛物线

金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第1页共6页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com2013年高考数学能力加强集训：专题五第2讲椭圆、双曲线、抛物线一、选择题(每小题4分，共24分)1．(2012·贵阳模拟)抛物线y＝14x2的焦点坐标是A.116，0B．(1,0)C.－116，0D．(0,1)解析把抛物线方程化为标准形式得x2＝4y，∴焦点坐标为(0,1)．答案D2．(2012·黄岗模拟)椭圆短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为120°，则这个椭圆的离心率是A.12B.22C.63D.33解析据题意知ba＝33，∴e2＝1－b2a2＝23，∴e＝63.答案C3．(2012·荆州模拟)已知点P在抛物线y2＝4x上，则点P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离和到直线l2：x＝－1的距离之和的最小值为A.3716B.115C．2D．3解析易知直线l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，据抛物线的定义知所求的距离之和的最小值为点F到直线l1的距离，即d＝|4×1－3×0＋6|42＋－32＝2.答案C金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第2页共6页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com4．(2012·大纲全国卷)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝A.14B.35C.34D.45解析利用双曲线的定义及余弦定理求解．由x2－y2＝2知，a2＝2，b2＝2，c2＝a2＋b2＝4，∴a＝2，c＝2.又∵|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|＝2|PF2|，∴|PF1|＝42，|PF2|＝22.又∵|F1F2|＝2c＝4，∴由余弦定理得cos∠F1PF2＝422＋222－422×42×22＝34.答案C5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为A．5x2－4y25＝1B.x25－y24＝1C.y25－x24＝1D．5x2－5y24＝1解析∵抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，∴c＝1；又e＝5，a＝15，b2＝c2－a2＝45，所以该双曲线方程为5x2－5y24＝1，故选D.答案D6．(2012·芜湖模拟)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是A．5B．8C.5＋2D.17－1解析设圆心为C，则C(0,4)，半径r＝1，设抛物线的焦点F(1,0)，据抛物金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第3页共6页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com线的定义知，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线距离之和为|PQ|＋|PF|＝|PC|－1＋|PF|＝|PC|＋|PF|≥|CF|－1＝17－1.答案D二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2012·肇庆模拟)短轴长为5，离心率e＝23的椭圆的两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为________．解析由题知2b＝5ca＝23即b＝52a2－b2a2＝49，解得a＝32b＝52，由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a＝4×32＝6.答案68．已知双曲线kx2－y2＝1的一条渐近线与直线2x＋y＋1＝0垂直，那么双曲线的离心率为________，渐近线方程为________．解析双曲线kx2－y2＝1的渐近线方程是y＝±kx.又因为一条渐近线方程与直线2x＋y＋1＝0垂直，∴k＝12，k＝14，∴双曲线的离心率为e＝1k＋11k＝52；渐近线方程为12x±y＝0.答案5212x±y＝09．(2012·衡水模拟)已知x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，M，N是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|＋|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率为________．解析设P(x0，y0)，不妨设y0＞0，金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第4页共6页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com则k1＝y0x0＋a＞0，k2＝y0x0－a＜0，∴|k1|＋|k2|＝k1－k2＝y0x0＋a－y0x0－a＝2ay0a2－x20.又∵x20a2＋y20b2＝1，∴a2－x20＝a2b2y20，∴|k1|＋|k2|＝2ay0a2b2y20＝2b2ay0.∵0＜y0≤b，∴当y0＝b时，|k1|＋|k2|的最小值为2b2ab＝2ba＝1，∴ba＝12，e2＝c2a2＝1－b2a2＝34，∴e＝32.答案32三、解答题(每小题12分，共36分)10．如图所示，已知直线l：y＝kx＋2(k为常数)过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，直线l被圆x2＋y2＝4截得的弦长为d.(1)若d＝23，求k的值；(2)若d≥455，求椭圆离心率e的取值范围．解析(1)取圆中弦的中点M，连接OM.由平面几何知识，知|OM|＝2k2＋1＝1，解得k2＝3，k＝±3.∵直线l过点F、B，∴k＞0，则k＝3.(2)设圆中弦的中点为M，连接OM，则|OM|2＝41＋k2，d2＝44－41＋k2≥4552，解得k2≥14.∴e2＝c2a2＝－2k24＋－2k2＝11＋k2≤45.金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第5页共6页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com∴0＜e≤255.11．设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求E的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．解析(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，因为2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝43a.l的方程为y＝x＋c，其中c＝a2－b2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组y＝x＋c，x2a2＋y2b2＝1，化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，则x1＋x2＝－2a2ca2＋b2，x1x2＝a2c2－b2a2＋b2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|＝2[x1＋x22－4x1x2].故43a＝4ab2a2＋b2，得a2＝2b2，所以E的离心率e＝ca＝a2－b2a＝22.(2)设AB的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0＝x1＋x22＝－a2ca2＋b2＝－23c，y0＝x0＋c＝c3.由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，即y0＋1x0＝－1，金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第6页共6页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com得c＝3，从而a＝32，b＝3.故椭圆E的方程为x218＋y29＝1.12．已知直线l：y＝x＋m，m∈R.(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．解析(1)依题意，点P的坐标为(0，m)．因为MP⊥l，所以0－m2－0×1＝－1，解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)．从而圆的半径r＝|MP|＝2－02＋0－22＝22，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.(2)因为直线l的方程为y＝x＋m，所以直线l′的方程为y＝－x－m.由y＝－x－m，x2＝4y，消去y，整理得x2＋4x＋4m＝0.Δ＝42－4×4m＝16(1－m)．当m＝1，即Δ＝0时，直线l′与抛物线C相切；当m≠1，即Δ≠0时，直线l′与抛物线C不相切．综上，当m＝1时，直线l′与抛物线C相切；当m≠1时，直线l′与抛物线C不相切．