专题五第2讲椭圆双曲线抛物线

一、选择题1．(2011·安徽高考)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．22C．4D．42解析：双曲线方程可变为x24－y28＝1，所以a2＝4，a＝2,2a＝4.答案：C2．过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A.22B.33C.12D.13解析：由题意知点P的坐标为(－c，b2a)或(－c，－b2a)，∵∠F1PF2＝60°，∴2cb2a＝3，即2ac＝3b2＝3(a2－c2)．∴3e2＋2e－3＝0.∴e＝33或e＝－3(舍去)．答案：B3．(2011·浙江杭州模拟)双曲线x23－y2b＝1的一条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝2相交于M、N两点且|MN|＝2，则此双曲线的焦距是()A．22B．23C．2D．4解析：一条渐近线方程为y＝b3x，圆心到渐近线的距离为2b3＋b＝1，b＝1，则c＝3＋1＝2,2c＝4.答案：D4．(2011·山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即4，根据已知只要|FM|4即可．根据抛物线定义，|FM|＝y0＋2，由y0＋24，解得y02，故y0的取值范围是(2，＋∞)．答案：C二、填空题5．(2011·新课标卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为__________．解析：根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，∵e＝22，∴ca＝22.根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝22，所以椭圆方程为x216＋y28＝1.答案：x216＋y28＝16．(2011·温州模拟)过抛物线x2＝2py(p0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧)，则|AF||FB|＝________.解析：由已知，得直线方程为y＝33x＋p2，与x2＝2py联立消去x得12y2－20py＋3p2＝0，∵点A在y轴左侧，∴yA＝p6，yB＝32p.如图所示，过A、B分别作准线的垂线AM、BN，由抛物线定义知|AF|＝|AM|，|BF|＝|BN|，∴|AF||FB|＝|AM||BN|＝p6＋p232p＋p2＝13.答案：137．经过点M(10，83)，渐近线方程为y＝±13x的双曲线的方程为________．解析：设双曲线方程为x2－9y2＝λ，代入点(10，83)∴λ＝36.∴双曲线方程为x236－y24＝1.答案：x236－y24＝1三、解答题8．(2011·江西高考)已知过抛物线y2＝2px(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．解：(1)直线AB的方程是y＝22(x－p2)，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以：x1＋x2＝5p4.由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)；设OC＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y23＝8x3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.9．(2011·西安模拟)已知直线l：x＝my＋1(m≠0)恒过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点．(1)若抛物线x2＝43y的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；(2)对于(1)中的椭圆C，若直线l交y轴于点M，且MA＝λ1AF，MB＝λ2BF，当m变化时，求λ1＋λ2的值．解：(1)根据题意，直线l：x＝my＋1(m≠0)过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点F，∴F(1,0)．∴c＝1，又∵抛物线x2＝43y的焦点为椭圆C的上顶点，∴b＝3.∴b2＝3.∴a2＝b2＋c2＝4.∴椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)∵直线l与y轴交于M(0，－1m)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x＝my＋1，3x2＋4y2－12＝0，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ＝144(m2＋1)0，∴y1＋y2＝－6m3m2＋4，y1y2＝－93m2＋4.∴1y1＋1y2＝2m3(*)．又由MA＝λ1AF，∴(x1，y1＋1m)＝λ1(1－x1，－y1)，∴λ1＝－1－1my1，同理λ2＝－1－1my2，∴λ1＋λ2＝－2－1m(1y1＋1y2)＝－2－23＝－83.∴λ1＋λ2＝－83.10．(2011·杭州模拟)已知直线(1＋3m)x－(3－2m)y－(1＋3m)＝0(m∈R)所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为3.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点，若125≤|FA|·|FB|≤187，求直线l的斜率的取值范围．解：(1)由(1＋3m)x－(3－2m)y－(1＋3m)＝0，得(x－3y－1)＋m(3x＋2y－3)＝0，由x－3y－1＝0，3x＋2y－3＝0，解得F(1,0)．设椭圆C的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则c＝1，a＋c＝3，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝3，c＝1.从而椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.(2)设过F的直线l的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝kx－1x24＋y23＝1，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.因点F在椭圆内，即必有Δ0，有x1＋x2＝8k23＋4k2，x1x2＝4k2－123＋4k2，所以|FA|·|FB|＝(1＋k2)|(x1－1)(x2－1)|＝(1＋k2)|x1x2－(x1＋x2)＋1|＝91＋k23＋4k2.由125≤91＋k23＋4k2≤187，得1≤k2≤3，解得－3≤k≤－1或1≤k≤3，所以直线l的斜率的取值范围为[－3，－1]∪[1，3]．