专题五高考解析几何命题动向

专题五高考解析几何命题动向高考命题分析解析几何是高中数学的又一重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此可以以坐标为桥梁，使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系．用向量方法研究解析几何问题，主要是利用向量的平行(共线)、垂直关系及所成角研究解析几何中直线的平行、垂直关系及所成角．平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材，这类问题涉及面广、综合性强、背景新颖、灵活多样，求解此类问题对能力要求较高．在考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标指导下，每年的高考对解析几何的考查都占有较大的比例，且常考常新．高考命题特点(1)直线与圆的方程，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是支撑解析几何的基石，也是高考命题的基本元素．高考十分注重对这些基础知识的考查，有的是求圆锥曲线的标准方程；有的是直接考查圆锥曲线的离心率，有的是对直线与圆锥曲线的位置关系进行考查等．(2)试题在考查相应基础知识的同时，着重考查基本数学思想和方法，如分类讨论思想、数形结合思想．除此之外，许多试卷都非常重视对考生思维能力和思维品质的考查．(3)解析几何是高中数学的重点内容，它的特点是用代数的方法研究解决几何问题，重点是用“数形结合”的思想把几何问题转化为代数问题，这类试题涉及面广、综合性强、题目新颖、灵活多样，解题对能力要求较高．高考动向透视直线与圆的方程对于直线方程，要理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握点到直线的距离公式等，特别是求直线方程的三种形式．而对于圆的方程，要熟练运用与圆相关的基本问题的求解方法．如求解圆的方程的待定系数法、求圆的圆心与半径的配方法、求圆的弦心距的构造直角三角形法、判断直线与圆、圆与圆的位置关系的代数法与几何法、求圆的切线的基本方法等．这些方法是解决与圆有关问题的常用方法，必须认真领会，熟练运用．【示例1】►(2011·杭州模拟)设O为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P，Q满足关于直线x＋my＋4＝0对称，又满足OP→·OQ→＝0.(1)求m的值(2)求直线PQ的方程．解(1)曲线方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，表示圆心为(－1,3)，半径为3的圆．∵点P，Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称，∴圆心(－1,3)在直线x＋my＋4＝0上，代入得m＝－1.(2)∵直线PQ与直线y＝x＋4垂直．∴可设直线PQ的方程为y＝－x＋b.将直线y＝－x＋b代入圆的方程，得2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0.由Δ＝4(4－b)2－4×2×(b2－6b＋1)＞0，得2－32＜b＜2＋32.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝－(4－b)，x1x2＝b2－6b＋12.∴y1y2＝b2－b(x1＋x2)＋x1x2＝b2－6b＋12＋4b.∵OP→·OQ→＝0，∴x1x2＋y1y2＝0，即b2－2b＋1＝0，解得b＝1∈(2－32，2＋32)．∴所求的直线方程为x＋y－1＝0.本题考查了圆的方程和直线与圆的位置关系，对于直线与圆的位置关系，可联立方程，转化为交点坐标，结合条件，求出参数值．【训练】(2011·福建)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.(1)求实数b的值；(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．解(1)由y＝x＋b，x2＝4y，得x2－4x－4b＝0，(*)因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0.解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1，故点A(2,1)．因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.圆锥曲线的定义、标准方程(1)圆锥曲线的定义是高考考查的重点之一．对于圆锥曲线定义的考查，一般涉及焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系，属于基础知识、基本运算的考查，解题时要注意恒等变形，进行合理转化与化归．(2)圆锥曲线的标准方程在新课标高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小问的，这一问至关重要，因为只有求出了曲线方程，才能进行下一步的运算．求曲线方程的方法很多，其中“待定系数法”最为常见．【示例2】►(2011·山东)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()．A.x25－y24＝1B.x24－y25＝1C.x23－y26＝1D.x26－y23＝1解析圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，根据已知得3ba2＋b2＝2，即3b3＝2，解得b＝2，则a2＝5，故所求的双曲线方程是x25－y24＝1，故选A.答案A本小题考查双曲线的几何性质(渐近线方程、焦点坐标)以及对直线与圆位置关系的理解与应用，求解本题时应注意将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于圆的半径列式求解，本题难度适中．圆锥曲线的离心率离心率是高考对圆锥曲线考查的又一个重点．求离心率取值范围问题是解析几何中常见的问题，求解时，可根据题意列出关于a、b、c的相应等式，并把等式中的a、b、c转化为只含有a、c的齐次式，再转化为含e的等式，最后求出e.该类题型较为基础、简单，一般以填空题、选择题或解答题的第一问的形式出现，是送分题，只要我们熟练掌握圆锥曲线的几何性质，就可以顺利解题．【示例3】►(2011·新课标全国)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与双曲线C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()．A.2B.3C．2D．3解析设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，焦点F(－c,0)，将x＝－c代入x2a2－y2b2＝1可得y2＝b4a2，所以|AB|＝2×b2a＝2×2a，∴b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝ca＝3.答案B本小题考查对双曲线的几何性质的理解与应用，考查运算求解能力及逻辑思维能力．直线与圆锥曲线的位置关系此类试题一般为高考的压轴题，主要考查圆锥曲线的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系．高考经常设计探究是否存在的问题，也经常考查与平面向量知识的综合运用．处理此类问题，主要是在“算”上下工夫．即利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数的关系解决问题．解题时，也要特别注意特殊情况(如斜率不存在的情况)的处理．【示例4】►(2011·湖南)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求AD→·EB→的最小值．解(1)如图，设动点P的坐标为(x，y)，由题意有x－12＋y2－|x|＝1.化简得y2＝2x＋2|x|.当x≥0时，y2＝4x；当x＜0时，y＝0.所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x＜0)．(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．由y＝kx－1，y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋4k2，x1x2＝1.因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－1k.设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.故AD→·EB→＝(AF→＋FD→)·(EF→＋FB→)＝AF→·EF→＋AF→·FB→＋FD→·EF→＋FD→·FB→＝|AF→|·|FB→|＋|FD→|·|EF→|＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1＝1＋2＋4k2＋1＋1＋(2＋4k2)＋1＝8＋4k2＋1k2≥8＋4×2k2·1k2＝16.当且仅当k2＝1k2，即k＝±1时，AD→·EB→取最小值16.本题综合考查了直线与双曲线的位置关系、双曲线的离心率以及平面向量知识，考查了数形结合思想和化归转化思想．其中直线与圆锥曲线的相交问题一般联立方程，设而不求，并借助根的判别式及根与系数的关系进行转化．考查圆锥曲线的综合性问题高考对圆锥曲线的考查是综合性的，这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互交汇，高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，一般以椭圆或者抛物线为依托，全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合应用．【示例5】►(2011·北京)已知椭圆G：x24＋y2＝1.过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．解(1)由已知得a＝2，b＝1，所以c＝a2－b2＝3.所以椭圆G的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e＝ca＝32.(2)由题意知，|m|≥1.当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为1，32，1，－32，此时|AB|＝3.当m＝－1时，同理可得|AB|＝3.当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．由y＝kx－m，x24＋y2＝1得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝8k2m1＋4k2，x1x2＝4k2m2－41＋4k2.又由l与圆x2＋y2＝1相切，得|km|k2＋1＝1，即m2k2＝k2＋1.所以|AB|＝x2－x12＋y2－y12＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝1＋k264k4m21＋4k22－44k2m2－41＋4k2＝43|m|m2＋3.由于当m＝±1时，|AB|＝3，所以|AB|＝43|m|m2＋3，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB|＝43|m|m2＋3＝43|m|＋3|m|≤2，且当m＝±3时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系、两点间距离公式、基本不等式等基础知识，考查考生分析问题、解决问题的能力与运算能力．直线与圆锥曲线的问题，一般方法是联立方程，利用“设而不求”思想解题.方法技巧2圆锥曲线的综合应用教师用书独具一、圆锥曲线的最值问题【考情快递】最值问题是高考的热点，可能出选择题、填空题和解答题．方法1：定义转化法解题步骤①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．适用情况此法为求解最值问题的常用方法，多数题可以用.【例1】►已知点F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．解析如图所示，根据双曲线定义|PF|－|PF′|＝4，即|PF|－4＝|PF′|.又|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5，将|PF|－4＝|PF′|代入，得|PA|＋|PF|－4≥5，即|PA|＋|PF|≥9，等号当且仅当A，P，F′三点共线，即P为图中的点P0时成立，故|PF|＋|PA|的最小值为9.故填9.答案9方法2：切线法解题步骤①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．适用情况当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时用此法.【例2】►求椭圆x22＋y2＝1上的点到直线y＝x＋23的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．解设椭圆的切线方程为y＝x＋b，代入椭圆方程，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.