专题函数与方程

专题：函数与方程1.函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.方程的思想，就是从问题的数量关系入手分析数学问题中的等量关系,从而建立方程或方程组或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题，从而使问题获得解决.方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数y=f(x)，当y=0时，就转化为方程f(x)=0，也可以把函数式y=f(x)看做二元方程y-f(x)=0,函数与方程这种相互转化的关系十分重要.函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式.2.函数与方程思想一直是数学最本质的思想之一，是高中数学的一条重要主线，新课标内容中不仅没有淡化这一传统，而且还有加强的趋势，这从考试说明中很容易看出来.3.备考中要熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体性质与图象特征，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件，迅速构造出有关的函数解析式并能恰当使用其性质或图象，顺利解决问题.4.函数与方程思想的应用涉及的知识点较多，应用起来具有一定的创造性，更能体现考生的能力水平，是考查创新实践能力的良好载体和首选载体，另外它对考生的理解能力，应用数学知识的能力，以及数学思维能力等都有较高层次要求，备考过程中要加强训练.经典例题：【例1】（2009·江苏调研）已知命题“在等差数列{na}中，若303（）93aaa，则13S=78”为真命题，由于印刷问题，括号内的数模糊不清，可以推得其中的数为。.分析由13S=78，可得关于1a与d的方程,设括号内数为x,可得关于1a，d的方程，联立可解得x=17.解析设等差数列{na}公差为d,首项为1a,括号内为x,依题意有：30)186(5782)113(131311dxada解得17x.探究拓展用方程的思想建立关于基本量的等式，通过解方程（组），使问题得以解决，是处理数列问题的基本方法与思路.数列中基本量一般指首项1a、公差d、公比q、项数n、第n项na、前n项和nS,关联式为111,)1(nnnqaadnaa,)1(1)1(,2)1(2)(111qqqaSdnnnaaanSnnnn方程思想的应用，使各基本量之间关系表现的形象生动，备考者要细细体会，牢固掌握.变式训练1若复数z满足条件（1+i）z=1-i，则z=.解析设z=a+bi(a,b∈R),则(1+i)(a+bi)=1-i，整理有(a-b)+(a+b)i=1-i,izbababa10,11得【例2】（2009·南京调研）如图所示,半圆的直径AB=2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点.若P为半径OC上的动点，则（PA+PB）·PC的最小值是..解析设PC长为x(0≤x≤1)，则PO长为1-x,依题意，O为AB中点，所以)10)(1(22)(,2xxxPCPOPCPBPAPOPBPA问题转化为求函数1,0,222xxxt的最小值问题.21)21(22222xxxt,当21x时，t有最小值21。故PCPBPA)(的最小值为21。答案：21探究拓展将题设条件恰当转化，有时可转化为函数问题，借助函数相关知识，使问题顺利解决.其中要特别注意函数所依赖的未知数的设立及其取值范围的确定，不同的量作未知数，所得的函数解析式不同，自变量的取值范围不同，解决问题的过程繁简程度也不同，这就要求备考者在备考中要有优化解题过程的意识.变式训练2已知2222coscos,0sin2sin2sin3求的最值。解：23)1(sin212sinsin212)sin23(sinsin2sinsincoscos).sin3sin2(21sin2222222222t令又恒成立2sin2sin3sin20sin3sin2sin22222即32,0sin，当0sin时，2maxt当32sin时，914mint【例3】（2008·南京调研）已知数列{na}是公差为d的等差数列，它的前n项和为nS，nnnaabSS1,4224。（1）求公差d的值；（2）若251a，求数列{nb}中的最大项和最小项的值；（3）若对任意的n∈N*，都有8bbn成立，求1a的取值范围.解（1）∵4224SS1.4)2(2234411ddada解得⑵251a，所以数列na的通项公式为271)1(1nnaan.271111nabnn,函数2711)(xxf在,2727,和上是单调函数，1123bbb；当4n时，41bbn⑶由111,111anbabnnn得又函数111)(1axxf在,11,11aa和上均是单调减函数，且11;1,111yaxyax时，时∵对任意的n∈N*，都有8bbn,∴711a8.∴-71a-6.∴1a的取值范围是（-7，-6）.探究拓展解决数列问题，似乎永远离不了函数与方程思想，因为数列实质是特殊的函数，回归函数后，便于使用函数的性质与图象等工具解决数列问题，从本例中可见一斑.函数271xy的单调性结合定义在正自然数集上的数列，便确定了最大项与最小项，若作出函数图象，则使结论更加明显.因此，可以说“学数列离不了函数”.数列基本量间的关系是靠方程维系的，基本量间的互求当然离不了方程(组)的建立，如本例第(1)问.变式训练3)(156*2Nnnnan已知，则数列na的最大项是第项.解析,1562156,15611562nnnnnnan当且仅当nn156,即1562n时，a取得最大值，又,1312,16913,14412,22*或且nNn又13121312,25132512,25130012aaaa可得即1312aa与同时取得最大项。规律方法总结1.函数与方程两种思想是密切相关的，函数问题可转化为方程问题来解决；方程问题也可以用函数思想来处理.如求函数y=f(x)的零点，就是解方程f(x)=0；解不等式f(x)0（或f(x)0），就是求函数y=f(x)值为正(负)时,所对应的自变量x的区间.2.函数与方程思想的应用概括地讲，一是构建函数与方程，二是应用函数与方程的性质思考问题.含有一个变量的等式，就是方程，含有多个变量的等式可理解为方程，也可转化为函数.理解为方程就是要考虑有解的条件，及解方程过程的合理性；理解为函数，就在于确定解析式与定义域.3.构造函数解决数学问题，是函数思想应用的较高境界，因为这种“构造”带有一定的“创造”性，事后看起来合理自然，其背后是构造者精心构思、综合多种知识的能力和匠心独运的结果.备考过程中，要不断总结归纳用函数的观点和方法分析与解决常见数学问题的方法技巧，自觉地充分合理地运用函数与方程的思想，提高数学意识和数学思维的能力.只有平时多加强训练并注意总结积累，才能不断提高能力，解题时才能得心应手、运用自如.4.可以从以下几个方面思考使用函数与方程思想(1)实际应用题中，建立适当的数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式知识解答，或依据题中的等量关系列方程（组），通过解方程（组）使问题得以解决.(2)将函数解析式转化为方程（注意转化后未知数的范围仍服从于原自变量与函数值的取值范围），利用方程有解的条件解决有关问题.(3)将方程中（也可能是含有多个变量的数学问题中）某个合适的未知可变量作为主变量，构造出恰当的函数解析式，揭示出其中的函数关系式，依据函数性质解决问题.(4)数列是特殊的函数，是定义在正自然数集（或其子集）上的函数，数列的通项公式，前n项和公式都可以看成是关于n的函数.数列问题完全可以用函数方法解决.(5)对不等式解集的研究，可以构造出函数，转化为函数值域限定问题处理.(6)直接研究具体函数，求解函数性质问题，如极值、最值、单调区间、周期性等.能力提升：1.（2009·金陵三模）已知等差数列{na}满足：1a=8,2a=6.若将541,,aaa都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为。2..(2009·南京)已知变量x、y满足632xyyxxy，则z=2x+y的最大值为。3.（2008·湖北）方程322xx的实数解的个数为。4.若2312420443322104)()(,)32(aaaaaxaxaxaxaax则的值为5.（2009·通州五月）已知两个不共线向量OBOA,的夹角为，且3OA若点M在直线OB上，且OMOA的最小值为23，则的值为。6.已知关于n的不等式32)1(log121212111annna对于一切大于1的正整数n都成立，试求实数a的取值范围。7.已知椭圆方程为14922yx在椭圆上是否存在点P（x,y）到定点A（a,0）(其中0a3)的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及P点坐标，若不存在，请给予证明.8.（2009·淮安市五月调研）已知函数),0(,1ln)(xxxxf（1）求f(x）的单调区间和极值；（2）设a≥1,函数,523)(22aaxxxg若对于任意)()(),1,0(),1,0(0110xgxfxx使得总存在成立，求a的取值范围；（3）对任意x∈(0,+∞)，求证：xxxx11ln11。参考答案：1.12.93.24.15.656或6.解：设0)22)(12(111221121)()1(),2(212111)(*nnnnnnfnfnNnnnnnf且)(nf是关于n的递增函数。32)1(log121)(,127)2()(,2anffnfna要使时对一切2n的整数恒成立，必须且只需12732)1(log121aa，即aaaaa11,1,1)1(log，解得2151a，故所求a的取值范围是)215,1(7.解，设存在点),(yxP满足题设条件，)91(4,149,)(2222222xyyxyaxAP，.544)59(95)91(4)(22222aaxxaxAP,544,350359,322aAPaax的最小值为时时，即当依题意得，时不符合题意。故359,35,021515442aaa335,359aa即此时)0,3(,)3(,322点的坐标是此时取最小值PaAPx故当2a时存在这样的点P满足题设条件，P点的坐标为)0,3(。8.⑴解：xxxxf111)(，当1x时，0)(xf；当10x时，0)(xf)(xf的单调递增区间是1,0，单调递减区间是,1，极大值是0)1(f，无极小值。⑵)(,032)(,1,0),1(32)(xgaxxgxaaxxg时当单调递减，此时)(xg的值域是0-)()1,0(1.52,43222，的值域为时，）得，当由（xfxaaa，由题意得2101,0522aa⑶证明：令11,1txtxx则，1ln11,1,0ttttx原不等式等价于，由（1）知),1(1ln)(在tttf上单调递减。,1ln,0)1()(ttftf即令,1