三四章学习指导

第二部分向量与线性方程组第三章矩阵的初等变换与线性方程组1．本章的主要问题(1)把矩阵化成行阶梯形和行最简形，矩阵等价的概念，可逆矩阵的逆阵的求法。(2)矩阵的秩的概念和基本性质，用初等变换求矩阵的秩的方法。(3)理解线性方程组无解、有惟一解或无限多个解得充要条件。(4)求解线性方程组的方法。(5)矩阵方程有解的充要条件及必要条件。2．解决问题的主要方法(1)利用初等行变换把矩阵化成行阶梯形和行最简形。(2)利用初等行变换求可逆矩阵的逆阵的方法。(3)利用矩阵初等行变换求矩阵的秩的方法。(4)利用系数矩阵和增广矩阵的秩之间的关系判别线性方程组无解、有惟一解或无限多个解。(5)利用矩阵的初等行变换求线性方程组的通解。3．主要应用可逆阵，矩阵的秩，线性方程组。4．考点（１）矩阵的初等变换，矩阵等价，矩阵的行最简形，标准型的概念，矩阵的秩的概念和性质，线性方程组无解、有惟一解或无限多个解的充要条件（包括非齐次线性方程组有解的充要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件）。（２）简化阶梯形矩阵，求矩阵的秩，求可逆矩阵，求解线性方程组。5．计划学时讲课5学时，习题课1学时学习要点1．基本要求熟练掌握矩阵的初等变换方法。理解矩阵的秩的概念、性质，掌握用行初等变换求矩阵的秩的方法。掌握线性方程组解的结构。正确理解初等矩阵的概念，熟练掌握初等矩阵在矩阵求逆和求方程组的通解中的应用。2．主要内容矩阵秩的概念，用行初等变换求矩阵的秩，矩阵的行初等变换，简化阶梯形矩阵，线性方程组与矩阵的关系，初等矩阵的概念。3．重点、难点重点：矩阵的初等变换，求逆矩阵，矩阵秩的求法，齐次线性方程组有非零解的充要条件，非齐次线性方程组有解的充要条件，求线性方程组的通解。难点：矩阵秩的概念和性质，齐次线性方程组有非零解的充要条件，非齐次线性方程组有解的充要条件。4．学习方法本章先引入矩阵的初等变换、矩阵的等价以及矩阵的行阶梯形、行最简形、标准形等概念，阐明了矩阵的初等变换与矩阵相乘的关系：对矩阵A做初等行（列）变换，相当于用可你矩阵左（右）乘A。由此引出用初等变换求逆矩阵的方法。矩阵的秩是矩阵的一个最重要的指数，由于它是矩阵在初等变换下的不变量，因此在初等变换的辅助下，矩阵的秩有着十分广泛的应用。对矩阵秩的性质也要有所了解，以增强应用矩阵的秩解决问题的能力。根据初等变换不改变矩阵秩的原理，在用初等行变换解线性方程组的过程中，建立起线性方程组的基本定理（即定理3，或分开叙述成定理4和定理5），并把它推广到矩阵方程。线性方程组的理论与求解方法是线形代数课程中最基本、最重要的内容，贯穿教材的始终，一定要切实掌握。第四章向量组的线性相关性1．本章的主要问题(1)n维向量的概念，向量组的概念及向量组与矩阵的对应。(2)向量组的线性组合的概念，一个向量能由一个向量组线性表示的概念以及这一概念与线性方程组的联系。(3)向量组B能由向量组A线性表示的概念及其矩阵表示式，这一概念和矩阵方程的联系，两向量组等价的概念。(4)向量组线性相关、线性无关的概念，这一概念与齐次线性方程组的联系。(5)向量组的最大无关组和向量组的秩的概念以及求法，向量组的秩与矩阵的秩的关系。(6)向量组的线性相关性理论的主要结论。(7)齐次线性方程组的基础解系的概念和求法，以及系数矩阵的秩与全体解向量的秩之间的关系，非齐次线性方程组的通解。(8)向量空间、向量空间的基和维数、向量组生成的空间、齐次线性方程组的解空间等概念，向量在一个基中的表示。2．解决问题的主要方法（1）利用向量组构成的矩阵的秩的知识来证明一个向量能由一个向量组线性表示以及两向量组等价。（2）利用线性相关的概念判断线性相关，线性无关性。（3）利用向量组的线性相关性判定定理判断向量组的线性相关，线性无关性。（4）利用初等行变换法求向量组的最大无关组和秩。（5）利用矩阵的初等变换齐次线性方程组的基础解系的概念和求法。（6）利用矩阵初等变换求非齐次线性方程组的通解。3．主要应用向量组线性相关性的相关命题，线性方程组。4．考点（１）线性相关与线性无关的概念和判定定理，线性相关与线性无关的判别，向量组的秩的概念和求法，求向量组的最大无关组，把其余向量用最大无关组线性表示。（２）齐次线性方程组的基础解系的概念以及系数矩阵的秩与全体解向量的秩之间的关系，求齐次线性方程组的基础解系和通解，非齐次线性方程组的解的结构和通解的求法。5．计划学时讲课9学时，习题课1学时学习要点1．基本要求理解向量组的线性相关、线性无关，了解向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的最大线性无关组及秩。会用上述理论判断、证明一些简单的有关向量组相关性的命题。了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念。熟练掌握齐次线性方程组与非齐次线性方程组解的结构，熟练掌握利用初等变换求线性方程组的通解的方法。2．主要内容线性相关与线性无关的定义，向量组的秩，会用初等变换求向量组的秩，齐次线性方程组(有非零解的充要条件、基础解系、通解)，初等变换求解齐次线性方程组，非齐次线性方程组(有解的充要条件、解的结构、通解)，初等变换求解非齐次线性方程组。3．重点、难点重点：向量组的线性相关与线性无关的概念，齐次线性方程组的基础解系和非齐次线性方程组解的结构。难点：向量组的线性相关与线性无关的概念，基础解系的求法。4．学习方法本章介绍线性代数的几何理论。把线性方程组的理论“翻译”成几何语言（或称向量语言）即可得本章的理论。因此，掌握几何语言，即掌握本章中的概念（定义）是学好本章的关键。方程组理论是在矩阵运算和矩阵的秩的基础上建立起来的，几何的基本元素是向量，而向量组可等同于矩阵，因此，矩阵是连接方程组理论与几何理论的纽带，又是解决问题时最常用的方法。学习本章要特别注意方程语言、矩阵语言、几何语言三者之间的转换。突出的典型问题是对关系式12l12mml(b,b,,b)=(a,a,,a)K(BAK)所做的解释：矩阵语言：B是A与K的乘积矩阵；方程语言：K是矩阵方程AXB的一个解；几何语言：向量组B能由向量组A线性表示，K是这一表示的系数矩阵。总之，注重掌握概念（定义），强调矩阵的表示形式，熟悉三种语言的转换，便可直接得出本章定理1～4，而定理5的证明可看作是用矩阵方法解题的范例。把矩阵的秩引申到向量组的秩，给秩的概念赋予几何解释，并且由于向量组可以含无限多个向量，从而使秩的概念深入到更广阔的领域。本章第二部分内容是用几何语言来讨论线性方程组的解，建立起线性方程组理论中另一个重要定理：n元齐次方程组0Ax的解集S的秩sRnRA（）。并由此提出齐次线性方程组的基础解系的概念，阐明了齐次和非齐次线性方程组通解的结构。这是本章又一重点，学习时要与上章求解线性方程组的方法相结合。对于用矩阵初等变换求解线性方程组的方法，不仅要熟练掌握，而且要理解起原理，从而能灵活运用。本章最后一部分是向量空间有关知识的介绍。按照“工科类高等数学课程教学基本要求”，学习时只需要了解下列概念：向量空间、齐次线形方程组的解空间、向量组12,,,maaa所生成的向量空间12(,,,)mLaaa、向量空间的基和维数。对于教学要求较高的读者，可阅读教材第六章第1节和第2节。练习题第三章一、填空题1设E(,)ij表示由n阶单位矩阵第i行与第j行互换得到的初等矩阵，则E(,)ij1__________.2设1021014221012112A，则A的秩为________.3、设mn矩阵A的秩为r，则与A等价的标准形矩阵是_____________________.4、设A为n阶方阵，方程组0AX仅有零解的充分必要条件是_________.5、若方程组123123230200xkxxxxxkxx只有零解，则k应满足的条件是____________6、齐次线性方程组1234123412341234020300xxxaxxxxxxxxxxxxbx有非零解,则,ab应满足的条件是___________.7、设矩阵121348412363Ak，当k_____________时，()1RA.8、方程组123123202470xxxxxx的通解________________.9、矩阵102120313043的行最简形矩阵为.10、设三元非齐次线性方程组Axb的增广矩阵为101012320001，则当时，该方程组有解。11、设A是3阶方阵，()1RA，则*()RA。12、设A是5阶方阵，且满足2AAE，则()RAE。二、选择题1.设矩阵A与矩阵B等价，则下列说法正确的是（）(A)A的秩小于B的秩(B)A的秩大于B的秩(C)A的秩等于B的秩(D)A与B的行列式相等2.线性方程组mnAXB有解的必要条件是()(A)BO(B)mn(C)mn(D)()(,)RARAB3、设矩阵1010801101300012是非齐次线性方程组Axb的增广矩阵，则下列说法正确的是（）。(A)非齐次线性方程组bAx无解；(B)非齐次线性方程组bAx有无穷多个解(C)非齐次线性方程组bAx只有唯一解；；(D)非齐次线性方程组bAx有零解。4、设矩阵aaaaabbbbbAcccccddddd,其中a0，则矩阵A的秩等于()。(A)0;(B)1;(C)2;(D)4。5、设A是5×6矩阵，R(A)=4，已知B=2A，则R(B)=()。(A)2;(B)3；(C)4;(D)5。6、设n阶方阵A满足A2=O，则1EA()(A)E;(B)E-A；(C)A;(D)E+A。7、设n阶方阵A与B等价，则（）ABA；BBA；C若0A，则0B；DBA三、判断题（）1、在秩为r的矩阵中，可能有等于零的1r阶子式.（）2、对一个mn矩阵A作一次初等列变换,相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.（）3、等价的矩阵具有相同的秩.（）4、设A是8阶可逆方阵，则矩阵A的秩小于8.（）5、非齐次线性方程组AX=b有解的充分必要条件是R(A)R(A,b).（）6、设A是4阶方阵，若|A|=0，则齐次线性方程组AX=0只有零解.（）7、n元齐次线性方程组OXAnm,当nARnm)(时方程组没有非零解.四、计算题1、解以下非齐次线性方程组并将其通解表示成向量形式1234123412343133445980xxxxxxxxxxxx；2利用矩阵的初等变换解线性方程组12312341234234421235737581xxxxxxxxxxxxxx；并将其通解表示成向量形式.五、已知矩阵201100132A，101110131B.求（1）1)(BA；（2）1B（用初等变换）；（3）12)(BAB.六、证明平面上三条不同的直线0,0,0axbycbxcyacxayb相交于一点的充分必要条件是0.abc第四章一、填空题1、m个n维向量构成的向量组maaa,,,21线性相关的充分必要条件是矩阵),,,(21maaaA的秩)(AR于向量个数m；向量组maaa,,,21线性无关的充分必要条件是)(AR.2、若向量组yaxa42,2121线性相关，则x，y.3、设n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且A的秩为1n，则线性方程组0AX的通解为_________.4、设123456333A，则齐次线性方程组0AX的基础解系所含向量个数为_________.5、在方程组10mnnAX中，若秩(),Ak且12,,,r