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1信息页队号121杨吕骁1120131241王战泽1120131374赵泽宇11201312482三峡大坝受到损坏的程度与造成的后果摘要三峡大坝是我国的重要水利工程之一，其具有巨大的防洪、发电、运输、供水等综合效益。但如果三峡大坝被毁坏，则会对长江中下游地区造成十分严重的后果。本文建立了一系列模型来研究当三峡大坝受到损坏时对长江中下游造成的影响。我们通过对整个问题的初步分析，认为这三问是相互联系的，进而我们对于每一问中的问题分别设立了模型。第一问中，我们首先对三峡大坝的整体结构做了了解，同时，我们查找出了可以影响到三峡的攻击方式。进而，我们对于每一种攻击方式做了威力评估，得出其造成缺口的大小。对于比较特殊的核攻击，不同TNT当量的炸药在不同的爆破位置将产生不同的后果，因此我们设计了一个爆破模型来计算其能产生的缺口，同时，我们模拟出了爆破的效果图来验证我们的设想。第二问中，我们设立两个模型来分别求出洪水淹没的面积，第一个我们通过假设出一些确定关系，对模型进行了简化，最后得出面积与炸开缺口之间的关系。第二个模型中。我们运用了圣维南方程组，我们通过对第二个模型的运用来对第一个模型的结果进行检验。以期得到最终更接近于真实值的结果。第三问中，我们首先确定了除人口以外能够造成经济损失的因素，最终我们确定了由GDP总产值、耕地总面积、高速公路总长度三个方面，我们通过各省这些参数的的不同和各省的总面积来大概估计不同省市每平方千米的价值。接着，我们根据第二问的结果，通过积分的方式，求出了各省的淹没的面积。之后再乘以每平方千米损失的价格，便可以大致得到经济损失。最后，我们对模型进行了修正与评价。我们经过与98年洪水的对比，证明了所建立的模型基本正确。关键词：三峡大坝爆炸模型一维洪流演进模型淹没面积经济损失3一．问题重述中国的三峡大坝已经完工，正在产生巨大的经济效益。但在此期间，国内外也提出一种忧虑：三峡大坝一旦遭到敌对势力的攻击而垮塌，将在下游造成巨大的生命和财产损失。请通过建立数学模型，回答如下问题：(1)分析三峡大坝因攻击而受到的损坏程度；(2)给出不同损坏程度形成的洪水覆盖的范围；(3)假设人员可以及时撤离，根据洪水覆盖范围评估可能带来的经济损失。二．问题分析我们所面临的三个问题，实际上来讲，这三个问题是彼此相互关联的。首先，对于三峡受到的袭击，我们认为，三峡由于受到攻击而受损的情况跟受到攻击的位置以及受到攻击的强度有关，这个是很显然的。所以，受损的情况是二者的一个函数，对此，我们要进行相应的模型的建立，与一些必要的假设，将问题简单化，标准化。其次，对于第二个问题，洪水泛滥的区域面积。对于这个问题，我们要根据上一个问题的结果来进行讨论，因为受损程度不同，对应的受灾情况一定不同。我们要建立一个类似于数轴的空间一维模型，在这个数轴上，三峡的位置为远点，正方向为下游方向，数轴上每一个位置的坐标是这个位置到三峡的距离，这样的话，每一个位置都有一个且仅有一个坐标相对应，便于我们的表达和分析。我们要做的是，研究这个数轴上每一点在洪水泛滥的期间内向外泛滥的水量。算出向外泛滥的距离，最终通过积分，求得泛滥的区域面积。最后，我们要计算，受灾区域（主要是湖北、湖南、江西、安徽、江苏五个省）的经济损失情况。对此，我们认为还是比较简单的。我们将长江在这五个省的流域按上面介绍的数轴方式分开，分段进行积分，求出每个省的受灾面积，进而通过每个省的经济状况，估计每个省的经济损失情况。三．模型的假设1.假设受攻击后河流的两岸地貌没有被改变。2.假设大坝所造成的缺口在一定时间后保持稳定。3.假设大坝的缺口为一规则的几何图形。4.假设缺口的变化是成比例的线性变化。5.假设水不具有粘性，不含其它杂质。6.假设没有任何的防洪措施和洪水的吸收能力四．符号的说明4模型一中的符号：0L大坝缺口的宽度0H大坝初始缺口的高度0Qt时间内冲出大坝的洪水量Qt时间内距大坝x距离处的洪水量H大坝的高度vt时刻的洪水流速t时间坐标maxv洪水的最大流速，即0t时刻的洪水流速c考虑到阻力作用后，对洪水速度的修正系数k单位距离溢出洪水量占流经洪水量的比例h上游即将流出的水的质心与下游水位的高度差maxt模型修正前，洪水全部涌出所需的时间maxT模型修正后，洪水全部涌出所需的时间0h可认为是洪水的水量在覆盖区域的高度A洪水最大淹没面积模型二中的符号L大坝缺口的宽度H大坝初始缺口的高度Q洪流的水流量A主流的截面面积0A非河道的洪水的截面面积X沿明渠空间坐标t时间坐标fS摩阻坡度eS河床的坡度n曼宁系数h水位高度五．模型的建立与求解：55.1问题1模型的建立和求解5.1.1对大坝结构和受到攻击的讨论为了研究三峡大坝的损坏程度，我们首先研究其构造。三峡大坝为混凝土重力坝，大坝的坝项总长为3035米，坝顶高程185米，正常蓄水位175米，总库容393亿立方米，其中防洪库容221.5亿立方米，能够抵御百年一遇的特大洪水。其中，配有26台发电机的两个电站年均发电量849亿度。航运能力将从现有的1000万吨提高到5000万吨，万吨级船队可直达重庆，同时运输成本也将降低35％。三峡大坝作为我国的一个重要的水利枢纽，在发电和航运方面起到了十分重要的作用，其最终将会形成长达600公里的巨型水库。其巨大的蓄水量使其成为了敌对国家的一个重要的军事目标。古今中外，水库大坝都是军事对抗中的主要打击目标，也是恐怖分子破坏和要挟的主要对象。根据现代战争的常规作战方式，我们分析了三峡大坝所能受到的打击方式。首先，常规武器对三峡大坝没用。三峡大坝是一座坚固的混凝土重力坝，所谓重力坝，是指每一个坝块都可以依靠自身的重力来保证自己的稳定。大坝由2689万吨混凝土外加29万吨钢筋和25．5万吨钢材组成，其坚固性可想而知。从1959年到1961年，首先进行了三峡工程抵御常规武器袭击的实验，取得了大量真实可靠的实验数据。也因此我们可以确定常规武器对三峡的影响可以忽略不计。进而，我们根据现代战争的一般作战方式，假想出四种可以对三峡大坝造成危害的方式，分别为核攻击、巡航导弹攻击、远程轰炸机和特种作战分队制造爆炸。下面我们分别讨论其造成的影响。对于巡航导弹和远程轰炸机，由于三峡大坝的地理位置，普通的巡航导弹无法攻击到三峡大坝，而现在韩国、台湾地区、日本、美国，均有军事实力对我国的三峡大坝进行打击，在远程轰炸机方面，他们也有军事实力打击三峡大坝。我们姑且先不考虑我国地面防御的能力。仅考虑三峡大坝的坚固性，一般的导弹无法对其造成过于致命的伤害，因此我们认为只有核攻击可以对其造成打击。对于核攻击，我们设计了一个摧毁模型来讨论炸弹在不同位置爆炸和不同当量的炸弹爆炸的效果为了研究爆破所造成的缺口，我们按照下面的假设进行求解：1、爆炸所产生冲击波近似球形；2、炸药的TNT当量与其在混凝土中产生冲击波的长度范围成正比,比例系数为α；3、能使大坝产生裂缝的冲击波半径与可以产生直接损害的冲击波半径的比值为β；4、若某部分被炸毁，则其上方的部分会全部垮塌，由此假设可得爆炸，成的缺口近似矩形。炸药攻击对大坝产生的影响可分为两部分：一、由于高温、高压等因素使得大坝某部分瞬间消失，产生初始缺口；二、爆炸冲击波使大坝某部分产生裂缝后水流冲击而损坏，此过程与时间t有关。显然炸药只能在坝体表面爆炸，考虑如图的情况：hhRDR6设爆炸点位于距大坝底面h处，该点所对应的大坝横截面的宽度为D，炸药的TNT当量为M，其可以直接损毁大坝的冲击波半径为r，使大坝产生裂缝的冲击波半径为R，由假设可得R=αM，R=βr从爆炸点向大坝另一侧面引垂线，设这一垂线与水平线夹角为θ，则tanθ=(𝐷2−𝐷1)/2𝐻′（𝐷2为坝底宽度，𝐷1为坝顶宽度，𝐻′为大坝高度）。根据炸药的TNT当量分为以下3种情况：1、若MDcosθ/α则炸药虽然能对大坝产生损坏，但无法将大坝炸穿，故不会产生溃坝；2、若Dcosθ/αMDcosθ/(αβ)在爆炸后瞬间，大坝将不会产生初始缺口，则t时刻的缺口宽度L=𝑘1t，缺口高度H=𝑘2t；3、若MDcosθ/(αβ)在爆炸后瞬间，产生图示阴影部分的缺口，其中弧线部分与矩形面积相比可以忽略不计，因此爆炸产生的缺口我们可以近似地认为是一个矩形，设爆炸产生的初始缺口矩形的宽为𝐿0，高为𝐻0。则𝐿0=2r，𝐻0可以通过如下方程解出：则t时刻的缺口宽度L=𝐿0+𝑘1t，缺口高度H=𝐻0+𝑘2t。综上，缺口为一个随时间增大的矩形，其大小由炸药的量和炸药放置的位置决定。此结果我们将在第二问继续讨论。对于最后一种特种作战分队，根据我们查阅的资料，三峡大坝和世界上的许多混凝土重力大坝的结构不同，水轮发电机的26条进水管，以及众多的泄洪管，泄沙管都是安装在大坝中，这些管道的输水截面是如此之大，要保证大坝每秒11万立方米的泄洪能力。形象地说，三峡大坝，就象一块有许多洞眼的荷兰奶酪，整体性差。此外，三峡大坝中还有三道深55米宽34米的横截大坝的槽（一道为升船机用，二道为船闸用），而这三道深槽都只用一层薄薄钢板控制，一旦这层钢板被炸毁，就可造成与溃坝一样的效应，而破坏这层钢板根本不需要什么核武器，几个恐怖分子就可以做到。因此，恐怖袭击对于三峡大坝来说是致命的，损坏程度极大，基本可认为大坝全毁。5.1.2大坝的受损模拟根据我们以上的模型，我们现在模拟出轰炸后第一时间的大坝的状态。下面的图形中，蓝色表示大坝被炸开的部分，即可以有水通过。其他颜色表示没有被完全炸开或者没有被冲击波涉及到。x表示其放置炸弹位置的横坐标，y表示放置炸弹位置的纵坐标，TNT量表示该武器相当于多少单位的TNT，（1单位TNT表示该武器可以炸开1米厚的混凝土）。7图一首先，我们在1000,20xy处放置80TNT的炸药，其炸开的缺口如上图（图一）所示，其所形成的近似于圆形的缺口符合我们描述中该武器形成的球状的冲击波。接着，我们改变同样威力的武器的作用的纵坐标，我们在1000,150xy处使用同样的武器（即80TNT的炸药），其结果如图二所示图二因为大坝的截面是一个梯形，且上底小、下底大，因此当攻击位置较低时且威力不够时，不足以将大坝炸穿，因此在图二中不存在蓝色的部分。接着我们模拟出当TNT量较大时的状况图三在图三中，我们令1000,150,5000xyTNT，由于TNT量足够大，我们造成一个比较大缺口。从以上三个图以及我们论证中可以看出，球形冲击波基本符合实际。5.2问题2模型的建立和求解5.2.1模型一为了方便我们对问题的分析与处理，我们先讨论以下问题：在洪水不断泛滥的过程中，我们认为水的量在一定程度之内是累计的，水在不断地往下流，但总量是不消减的，即我们可以通过积分来计算总水量。进而，我们假设洪水在前进的过程中不断向外溢出，同时在单位距离内所溢出的水的比例是一定的，同时，我们借鉴了物理中的惠更斯原理，认为溢出的水会以溢出点为圆心，向外以圆形蔓延。在水不断流出的过程中，大坝上下的落差在不断减小，因此流出水的初速度也在不断地减小，对于此一点我们在接下来的论述中做了处理。同时，我们在此模型中忽略掉因为地势对水造成的加速度和河流的宽度，这些变量与洪水本身相比过于小，对我们模型的影响可以忽略不计。同时，我们暂时不考虑缺口的变化。在表明上述问题之后，我们开始建立模型求解：首先，我们根据第一个问题的结果，来计算大坝溃坝之后，在时间t内流到坝底的总水量以及洪水刚刚到达坝底的初速度。我们知道，在时间t内，流到坝底的总水量因该是流量在这个时间内的积分，8即0000tQHLvdt那么，接下来，我们考虑，沿河道，距溃口的距离为x的一个洪水截面上，在时间t内从溃口涌出的洪水能够到达的水量，根据假设我们得。01xQQk由于，我们已知三峡水库内总贮水量。因此我们知道0maxQQ。现在，我们令二者相等，并且求出在速度v最大的情况下，全部水涌出所用的时间maxt。说明：0t，即水位落差最大的时刻，速度v最大，为maxv。我们通过目前的努力得到了，水库中可以涌出的水全部通过最快的速度