专题排列组合

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戴氏教育集团开阳校区戴氏中考·高考高中数学专用讲义主讲:胡老师第1页共8页心有多大,舞台就有多大。专题、排列组合1知识填空乘法原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有1m种不同的方法,做第二步有2m不同的方法,……,做第n步有nm不同的方法.那么完成这件事共有123nNmmmm种不同的方法.排列和排列数:!(1)(1),!()!mnnnnnnPnnnmPPPnnm另外通常写成,公式P是指排列,从n个元素取m个进行排列(即排序)。组合和组合数:!,!!()!mmmnmnnnnPnCCCmmnm,111mmmnnnCCC公式C是指组合,从n个元素取m个,不进行排列(即不排序)。加法原理:做一件事情,完成它有n类办法,在第一类办法中有1m种不同的方法,在第二类办法中有2m种不同的方法,……,在第n种类办法中有nm种不同的方法,那么完成这件事情共有12nmmm种不同的方法。【排列数和组合数公式】排列数公式:!(1)(1)()mnnAnnnmnm!(,nmN,且mn).注:规定0!1排列恒等式(1)1(1)mmnnAnmA;(2)1mmnnnAAnm;(3)11mmnnAnA;(4)11nnnnnnnAAA;(5)11mmmnnnAAmA.(6)1!22!33!!(1)!1nnn.组合数公式(1)(1)!12!()!mmnnmmAnnnmnCAmmnm(,mNmN且mn)组合数的两个性质(1)mnmnnCC(2)111mmmnnnCCC(3)11mknnkCnC注:规定10nC.组合恒等式(1)11mmnnnmCCm;(2)1mmnnnCCnm;(3)11mmnnnCCm;以下公式都和二项式定理相关:(4)02nrnnrC(5)1121rnrnrrrrrrCCCCC.(6)14205312nnnnnnnCCCCCC.(7)1321232nnnnnnnnCCCC.戴氏教育集团开阳校区戴氏中考·高考高中数学专用讲义主讲:胡老师第2页共8页心有多大,舞台就有多大。(8)rnmrnrmnrmnrmCCCCCCC0110.(9)nnnnnnnCCCCC22222120)()()()(.排列数与组合数的关系:!mmnnAmC2重点点拨【排列组合问题解题技巧归纳汇总】1)特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288CCA例2.用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A.324B.328C.360D.648解:首先应考虑“0”是特殊元素,当0排在末位时,有289872P(个),当0不排在末位时,有111488256PPP(个),于是由分类计数原理,得符合题意的偶数共有72256328(个).故选B.2)相邻元素捆绑策略例3.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480AAA种不同的排法乙甲丁丙例4.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有()A.1440种B.960种C.720种D.480种解:首先两位老人不站在两端,那么在5名志愿者中挑2位站两端,有25P种;两位老人要相邻,用捆绑法把他们看成一位,和剩下的3名志愿者一起排,有4P种;两位老人内部排列,有2P种,则总共有2542960PPP种。故选B。3)不相邻问题插空策略例5.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A种,第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A不同的方法,节目的不同顺序共有5456AA种提示:不相邻问题通常用插空法:把要求不相邻的元素放在一边,先排其他元素,再将不相邻的元素插在已经排好的元素之间的空位上。戴氏教育集团开阳校区戴氏中考·高考高中数学专用讲义主讲:胡老师第3页共8页心有多大,舞台就有多大。4)定序问题倍缩空位插入策略例6.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是:7373/AA(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A种方法,其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法,则共有47A种方法。(实际类似捆绑法)5)排列问题求幂策略例7.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法6)环排问题线排策略例8.8人围桌而坐,共有多少种坐法?解:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人44A并从此位置把圆形展成直线其余7人共有(8-1)!种排法即7!HFDCAABCDEABEGHGF一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1mnAn7)多排问题直排策略例9.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.前排右2个特殊元素有24A种,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A种,其余的5人在5个位置上任意排列有55A种,则共有215445AAA8)排列组合混合问题先选后排策略例10.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有44A种方法,根据分步计数原理装球的方法共有2454CA9)平均分组问题除法策略例11.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法?解:分三步取书得222642CCC种方法,但这里出现重复计数的现象,22236423/CCCA种分法。例12.把10人平均分成2组,每组5人,问共有多少种不同的分法?解:先确定第1组,有510C种方法,再确定第二组,有55C种方法。这样确定两组共有510c·55c种方法。因平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以nnA(n为均分的组数)避免重复计数。戴氏教育集团开阳校区戴氏中考·高考高中数学专用讲义主讲:胡老师第4页共8页心有多大,舞台就有多大。为是等分组,第一、二组次序可交换,同一种分法被重复了22P次,所以共有2255510·PCC种分法例13:把10人分成3组,一组2人,一组3人,一组5人,问有多少种不同的分法?解:按人数的多少,可把各组划分为第一组,第二组,第三组。先确定第1组,有210c种;再确定第二组,有38c种法;最后确定第三组,有55c种,共有210c·38c·55c种。例14:把10分成3组,一组2人,其余两组各4人,问有多少种不同的分法?解:先确定第1组,有210c种方法;再确定第二组,有48c种方法;最后确定第三组,有44c种方法。因第二、三组次序可交换,故同一分法被重复了22P次,所以共有224448210··CPCC(1)对于等分组问题:分法数=等分组数的阶乘按序分组的总数(2)对于不等分组问题:分法数=按序分组的总数(3)对于混合分组问题:分法数=相等组数的阶乘按序分组的总数3当堂检测1、某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为()A.14B.24C.28D.48解法一:从正面看,至少有1名女生,可以分为有1名女生的情况和有两名女生的情况,分别为1324CC和2224CC种,所以总共有1322242414CCCC种。解法二:从反面看,6人中选4人的方案4615C种,没有女生的方案只有一种,所以满足要求的方案总数有14种。思路:解法一,用分类计数原理直接解题;解法二为间接法2、某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成,其中4个数字互不相同的牌照号码共有()A.2142610CPB.242610PP个C.2142610C个D.242610P个解:乘法原理,先排英文字母,没要求两个字母不同,所以英文字母有2126C种;接下来4个数字要求互不相同,有410P种,所以总共有2142610CP个牌照。选A。思考:如果要求字母互不相同,或数字可以相同,则要怎么解呢?排列问题求幂策略戴氏教育集团开阳校区戴氏中考·高考高中数学专用讲义主讲:胡老师第5页共8页心有多大,舞台就有多大。3、从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有()A.40种B.60种C.100种D.120种解:乘法原理,5位同学中选4位参加活动,有45C种,在这4位中选2为星期五去,有24C种,剩下的两位安排星期六和星期日,有2P种,所以总共有4254260CCP种。选B。思路:排列组合混合问题先选后排策略4、甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有()A.20种B.30种C.40种D.60种解:分类计数:甲在星期一有2412P种安排方法,甲在星期二有236P种安排方法,甲在星期三有222P种安排方法,总共有126220种。特殊元素优先策略,以甲的位置为分类基础,看乙丙的排列。5.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是(用数字作答).解:对于7个台阶上每一个只站一人,则有37P种;若有一个台阶有2人,另一个是1人,则共有1237CP种,因此共有不同的站法种数是336种.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m思路:分类计数原理(加法原理)6、12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是()A.2283CPB.2686CPC.2286CPD.2285CP解法一:从后排8人中选2人共28C种选法,这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变,则先从4人中的5个空挡插入一人,有155C种插法;余下的一人则要插入前排5人的空挡,有166C种插法,故为112566CCP;综上知选C。解法二:从后排8人中选2人共28C种选法,这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变,如果两个人相邻,则有152CP种;如果两个人不相邻,则有252CP种,由加法原理得1212225252552626CPCPCCPCPP。答案与解法一相同。这里用到公式:111rrrnnnCCC思路:排列组合混合问题先选后排策略。解法三:不相邻问题插空策略7、用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共。戴氏教育集团开阳校区戴氏中考·高考高中数学专用讲义主讲:胡老师第6页共8页心有多大,舞台就有多大。解:正面解法:先排末位,不为0或5,则有14C种,紧接着排最高位,最高位不为0,有14C种,中间两位24P种,则总共有112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