专题数列

专题数列纵观05－08年的广东高考题，数列考查从题型特点上看有以下两个特点：（1）客观题，主要考查等差、等比数列的基本概念和性质，结合归纳推理，突出了“小、巧、活”的特点。（2）主观题，以数列为引线，与函数、方程、不等式、导数等知识编织成综合性强，内涵丰富的能力型试题，考查综合素质和学习潜力，属中等以上难度的题，07、08年是压轴题。不论何种类型综合题目，本质上都是考察数列的基本知识，主要是——通项（如惠州21（1））、求和（如肇庆20好题）、性质()mnpq（如宝典P11.3（3）－（1））、数列单调性（如宝典P10三1（3））等，但是在解题过程中还要注意自觉运用下列数学思想方法：①转化思想：如将非等差数列、非等比数列转化为等差、等比数列。②函数思想：将数列视为定义域为正整数集或其子集的函数。③数形结合的思想：如等差数列的通项公式na和前n项和nS，可视为直线和抛物线方程（如惠州题12）。④分类讨论思想：如等比数列求和，分公比等于1和不等于1两种情形；已知数列前n项和nS求通项na，分n=1和n2两种情形;等比数列的定义中要注意10,0aq等。例1、讲评周练＆模拟卷（1）（周练14A题11）已知数列{}na对于任意的*,pqN，满足pqpqaaa，则当a2时，数列{}na的通项nan，且...aaaaaaaa122334200820091111。（2）（14周B题4）若数列{}na满足nnaad221（d为正常数，nN），则称{}na为“等方差数列”．甲：数列{}na是等方差数列；乙：数列{}na是等差数列，则（）．A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件（3）（惠州题12）等差数列{}na前n项和为nS，且2510,55SS，则过点*2(,),(2,)(N)nnPnaQnan的直线的斜率是。（4）（15周B题7）13nnb，数列{}nc对任意自然数都有121221nncccnbbb成立，则1232008cccc（）（5）（15周B题19第（III）问）已知数列{}na的前n项和为nS，对一切正整数n，点(,)nnPnS都在函数2()2fxxx的图象上，且在点(,)nnPnS处的切线的斜率为nk.（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若2nknnba，求数列{}nb的前n项和nT；（Ⅲ）设{,*}nAxxknN，{2,*}nBxxanN，等差数列{}nc的任一项ncAB，其中1c是AB中最小的数，10110115c，求数列{}nc的通项公式.补充1：已知函数()nnfxaaxaxaxax230123*()nN，且()yfx的图象经过点(,)n21，数列{}na*()nN为等差数列。（1）求数列{}na的通项公式；（2）当n为奇数时，设()[()()]gxfxfx12，是否存在自然数m和M，使不等式()mgM12恒成立，若存在，求出Mm的最小值；若不存在，说明理由。(1)据题意：f(1)=n2即a0+a1+a2+……+an=n2令n=1则a0+a1=1，a1=1-a0令n=2则a0+a1+a2=22，a2=4-(a0+a1)=4-1=3令n=3则a0+a1+a2+a3=32，a3=9-(a0+a1+a2)=9-4=5∵{an}为等差数列∴d=a3-a2=5-3=2a1=3-2=1a0=0an=1+(n-1)·2=2n-1(2)由(1)f(x)=a1x1+a2x2+a3x3+…+anxnn为奇数时，f(-x)=-a1x1+a2x2-a3x3+…+an-1xn-1-anxng(x)=nnnnxaxaxaxaxaxfxf22553311)]()([21nnnng)21)(12()21)(52()21(9)21(5211)21(2532753)21)(12()21)(52()21(9)21(5)21(1)21(41nnnng相减得253)21)(12(])21()21()21[(4211)21(43nnng∴()()()nngn11413121299232设()()nnCn2131392，由nnnCCn11271()()0392，得g(21)为n的增函数，当n=1时，g(21)=21而914)21(32)21(913914nnn914)21(21g∴使mg(21)M恒成立的m的最大值为0，M最小值为2补充2：已知正数数列{}na满足：,()nnnaSaa11112，其中nS为数列{}na的前n项和．（1）求数列{}na的通项na；（2）求SSS12100111的整数部分．解：（1）)1(21nnnaaS111)(21nnnnSSSS，即111nnnnSSSS，即1212nnSS，4,3,2n，∴2nS为等差数列，又12121aS，∴2,nnSnSn，∴1,11,2,3,4,nnannn（2）nnSn2211当2n时，()()nnnSnnnnnnn21221122211()()SSS1210011118210112210011921，∴SSS12100111的整数部分为18。补充3：数列{}na的前n项和为nS，且满足,,,,,,...nnnnSSnaaan22211320234（1）设nnnCaa1，求,CC12，并判断数列{}nC是否为等差数列，说明理由；（2）求数列{()}nnnaa111的前k21项的和kT21。略解：（1）由CCCC2132知{}nC不是等差数列（2）数列ka2{}是首项为8，公差为6的等差数列；数列ka21{}是首项为7，公差为6的等差数列()()...()(...)kkkkkTaaaaaaaaaaaaaakk21124236452222123521166182416参考知识：1、求数列通项的常用方法叠加法、叠乘法、待定系数法、除幂法、再写一次法、倒数法、对数法等（返回）2、求数列前n项和的常用方法倒序求和法、乘公比错位相减法、裂项相消法、分组求和法、公式法（返回）3、性质()mnpq例：（1）已知各项不为0的等差数列{}na，满足aaa23711220，数列nb{}是等比数列，且ba77，则bb68（）A.2B.4C.8D.16对比练习：（08广东2）等差数列{}na的前n项和为nS，若,aS141202，则S6（）A．16B．24C．36D．48分析：20624dS，3d，故481536dS（2）等差数列{}na中，12318,3,1nnnnSaaaS，则n。（27）分析：由已知知2112()11,,32nnnnaaaaS（返回）4、单调性例：递增数列{}na中，2nann，求实数的取值范围。分析：函数2()fxxx单调递增与条件非等价，故要用1nnaa，答案：3（返回）