专题极坐标方程与直角坐标方程的互化

1极坐标方程与直角坐标方程的互化一、极坐标方程与直角坐标方程的互化互化条件：极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同.互化公式：sincosyx或)0(tan222xxyyxθ的象限由点(x,y)所在的象限确定.例1.⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为cos4，sin4．(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．练习：曲线的极坐标方程=4sin化成直角坐标方程为(A)x2+(y+2)2=4(B)x2+(y-2)2=4(C)(x-2)2+y2=4(D)(x+2)2+y2=4二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型常见的直线和圆的极坐标方程及极坐标系中的旋转不变性:1、直线的极坐标方程(a0)(1)过极点,并且与极轴成α角的直线的极坐标方程:=α;(2)垂直于极轴和极点间的距离为a的直线的极坐标方程:cos=a;(3)平行于极轴和极轴间的距离为a的直线的极坐标方程:sin=a;(4)不过极点,和极轴成角,到极点距离为a的直线的极坐标方程:sin(α-θ)=a.2、圆的极坐标方程(a0)(1)圆心在极点,半径为a的圆的极坐标方程:=a;(2)圆心在(a,0),半径为a的圆的极坐标方程:=2acos;(3)圆心在(a,),半径为a的圆的极坐标方程:=cos2a;(4)圆心在(a,2),半径为a的圆的极坐标方程:=2asin;(5)圆心在(a,23),半径为a的圆的极坐标方程:=sin2a;(6)圆心在(a,0),半径为a的圆的极坐标方程:=2acos(-0).3、极坐标系中的旋转不变性:曲线f(,+)=0是将曲线f(,)=0绕极点旋转||角(0时,按顺时针方向旋转,0时,按逆时针方向旋转)而得到.例2．极坐标方程4sin22=5所表示的曲线是（）(A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线练习：极坐标方程=cos(4-)所表示的曲线是（）2(A)双曲线(B)椭圆(C)抛物线(D)圆三、判断曲线位置关系例3．直线=和直线sin(-)=1的位置关系（）(A)垂直(B)平行(C)相交但不垂直(D)重合四、根据条件求直线和圆的极坐标方程例4．在极坐标系中,如果一个圆的方程是=4cos+6sin，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是（）(A)sin=3(B)sin=–3(C)cos=2(D)cos=–2练习：在极坐标方程中,与圆=4sin相切的一条直线的方程是(A)sin=2(B)cos=2(C)cos=4(D)cos=-4(答案:B)五、求曲线中点的极坐标例5．在极坐标系中，定点A(1,2),点B在直线0sincos上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是_________.练习：极坐标方程52cos2+2-24=0所表示的曲线焦点的极坐标为_________.六、求距离例6．在极坐标系中，直线的方程为ρsinθ=3，则点(2,6)到直线的距离为__________.练习：极坐标方程分别是=cos和=sin的两个圆的圆心距是(A)2(B)2(C)1(D)22七、判定曲线的对称性例7．在极坐标系中,曲线=4sin(-3)关于(A)直线=3轴对称(B)直线=65轴对称(C)点(2,3)中心对称(D)极点中心对称八、求三角形面积例8．在极坐标系中,O是极点，设点A(4,3)，B(5,65)，则△OAB的面积是.