专题求递推数列通项的特征根法

递归数列通项公式的求法确定数列的通项公式，对于研究数列的性质起着至关重要的作用。求递归数列的通项公式是解决数学竞赛中有关数列问题的关键，本文着重对递归数列通项公式加以研究。基础知识定义：对于任意的*Nn，由递推关系),,,(21knnnnaaafa确定的关系称为k阶递归关系或称为k阶递归方程，由k阶递归关系及给定的前k项kaaa,,,21的值(称为初始值)所确定的数列称为k阶递归数列。若f是线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常常是非线性递归数列问题。求递归数列的常用方法：一．公式法(1)设}{na是等差数列，首项为1a，公差为d，则其通项为dmnaamn)(；(2)设}{na是等比数列，首项为1a，公比为q，则其通项为mnmnqaa；(3)已知数列的前n项和为nS，则)2()1(11nnSSSannn。二．迭代法迭代恒等式：112211)()()(aaaaaaaannnnn；迭乘恒等式：112211aaaaaaaannnnn，(0na)迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题：类型一：已知)(,11nfaabann，求通项na；类型二：已知nnanfaba)(,11，求通项na；三．待定系数法类型三：已知)1(,11pqpaabann，求通项na；四．特征根法类型四：设二阶常系数线性齐次递推式为nnnqxpxx12（0,,1，qqpn为常数），其特征方程为qpxx2，其根为特征根。（1）若特征方程有两个不相等的实根,，则其通项公式为nnnBAx（1n），其中A、B由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为1)1([nnnBAx（1n），其中A、B由初始值确定。证明：设特征根为,，则,pq所以12nnxx=11nnnxqxpx=nnqxxp1)(=nnxx1=)(1nnxx即}{1nnxx是以为公比，首项为)12xx的等比数列。所以1121)(nnnxxxx，所以2121)(nnnxxxx(1)当时，则其通项公式为nnnBAx，其中)(12xxA，)(12xxB；(2)当时，则其通项公式为1)]1([nnnBAx，其中121,xxBxA4.（改编）已知数列nx12x且1432nnnxxx则数列nx的通项公式。命题意图：本试题主要考查了数列的通项公式的求法，根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项，虽然这样的解决对于学生来说是比较有点难度的，但通过不同的构造方法使学生体会一些特殊的数列通项公式的推导，有利于学生思维的开发。参考答案：解法一：由1432nnnxxx得133324nnnxxx得115133nnxx∴111115()3434nnxx故数列11{}34nx是以34为首项以5为公比的等比数列∴1134nx=3415n故143315nnx解法二：由1432nnnxxx得131124nnnxxx得111111515nnxx∴111111()14514nnxx故数列11{}14nx是以112为首项以15为公比的等比数列∴1114nx=112115n（）故143315nnx解法三由1432nnnxxx得到该数列的一个特征方程432xxx即2230xx，解得3x或1x14333322nnnnnxxxxx①14355(1)122nnnnnxxxxx②两式相除可得11331151nnnnxxxx,而1132311213xx故数列31nnxx是以13为首项以15为公比的等比数列∴1311()135nnnxx,故11195143351351nnnnx。五．代换法代换法主要包括三角代换、分式代换与代换相消等，其中代换相消法可以解决以下类型五：已知caba21,，)0(11rrqapaannn，求通项na。六．不动点法若)(f，则称为)(xf的不动点，利用不动点法可将非线性递归式化归为等差数列、等比数列或易于求解的递关系的递推关系，从而达到求解的目的。类型六：(1)已知0(1cdacbaaannn，且)0bcad，求通项na；(2)已知caabaaannn221，求通项na；七．数学归纳法八．构造法典例分析例1．数列{an}中，a1=1,an+1an,且)(2111221nnnnnnaaaaaa成立，求na。例2．已知数列{an}满足：112212,2,1nnnnnaaaaaaa，求na。例3．数列}{na满足,2,1),24141(161111naaaannn，求na。专题求递推数列通项的特征根法一、形如21(,nnnapaqapq是常数）的数列形如112221,,(,nnnamamapaqapq是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项na，其特征方程为2xpxq…①若①有二异根,，则可令1212(,nnnacccc是待定常数）若①有二重根，则可令1212()(,nnacnccc是待定常数）再利用1122,,amam可求得12,cc，进而求得na例1已知数列{}na满足*12212,3,32()nnnaaaaanN，求数列{}na的通项na例2已知数列{}na满足*12211,2,44()nnnaaaaanN，求数列{}na的通项na二、形如2nnnAaBaCaD的数列对于数列2nnnAaBaCaD，*1,(,,,amnNABCD是常数且0,0CADBC）其特征方程为AxBxCxD，变形为2()0CxDAxB…②若②有二异根,，则可令11nnnnaacaa（其中c是待定常数），代入12,aa的值可求得c值。这样数列nnaa是首项为11aa，公比为c的等比数列，于是这样可求得na若②有二重根，则可令111nncaa（其中c是待定常数），代入12,aa的值可求得c值。这样数列1na是首项为1na，公差为c的等差数列，于是这样可求得na例3已知数列{}na满足11122,(2)21nnnaaana，求数列{}na的通项na例4已知数列{}na满足*11212,()46nnnaaanNa，求数列{}na的通项na