专题综合测试四

专题综合测试四(时间：120分钟分值：150分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图(又称主视图)、侧视图(又称左视图)如图所示，则其俯视图为()图1解析：依题意可知该几何体的直观图如图所示，其俯视图应选C.图2答案：C2．如图，在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()图3答案：A3．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为()A.8π3B.82π3C．82πD.32π3解析：截面面积为π⇒截面圆半径为1，又与球心距离为1⇒球的半径是2，所以根据球的体积公式知V球＝4πR33＝82π3，故选B.答案：B4．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．故选C.答案：C5．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是()图4A．2(π＋3)B．2π＋3C．π＋3D．π＋23解析：显然此几何体由两个一样的半圆锥沿底面拼接而成，圆锥的底面圆的半径为1，母线长为2，但这个对接圆面不是底面，底面正好是轴截面，所以该几何体的表面积为π×1×2＋2×12×2×3＝2(π＋3)．故选A.答案：A6．(2012·银川联考)在正四棱锥V－ABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2解析：设AC∩BD＝O，连接VO，由于四棱锥V－ABCD是正四棱锥，所以VO⊥平面ABCD，故BD⊥VO.又四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，所以BD⊥平面VAC，所以BD⊥VA，即异面直线VA与BD所成角的大小为π2，选D.答案：D7．在正方形ABCD中，沿对角线AC将正方形ABCD折成一个直二面角B－AC－D，则AB与平面BCD所成角的正弦值为()图5A.63B.33C.23D.53解析：设AC中点为O，连接BO，DO，则∠BOD是二面角B－AC－D的平面角，设正方形的边长为2，则BO＝DO＝2，BD＝2，则VB－ACD＝13×12×2×2×2＝223，设A到平面BCD的距离为d，则223＝13×34×22·d，d＝263，设AB与平面BCD所成的角为θ，则sinθ＝dAB＝63，故选A.(也可用空间向量来解)答案：A8．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是()图6A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°解析：由题意知，BD⊥AB，BD⊥PA，又AB∩PA＝A，∴BD⊥面PAB.∴BD⊥PB，面PBD⊥面PAB.故A，B均不对．又BC∥AD，∴BC∥面PAD，C也不正确．∵PA＝2AB＝AD，而PA⊥AD，∴∠PDA＝45°，即PD与平面ABC所成的角为45°.答案：D9．(2012·山东威海一模)设l，m，n为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若l⊥α，m∥β，α⊥β，则l⊥mB．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αC．若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥αD．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n解析：A项中，l∥β或l⊂β，m与l可能异面或相交，故A错，B项中，若m∥n，则无法得出l⊥α，故B错；C项中，由l∥m及m∥n，可得l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，故C正确；D项中，m与n可能异面，故D错，故选C.答案：C10．如图7，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，则二面角O1－BC－D的大小为()图7A．60°B．90°C．120°D．150°解析：如图，过O作OF⊥BC交BC于F，连接O1F，∵OO1⊥平面AC，∴BC⊥OO1，OF⊥BC，OO1∩OF＝O，图8∴BC⊥平面O1OF，又O1F⊂平面O1OF.∴BC⊥O1F.∴∠O1FO是二面角O1－BC－D的平面角．∵OB＝2，∠OBF＝60°，∴OF＝3.在Rt△O1OF中，tan∠O1FO＝OO1OF＝33＝3，∴∠O1FO＝60°，即二面角O1－BC－D的大小为60°.答案：A11．(2012·北京海淀期末练习)在正四面体A－BCD中，棱长为4，M是BC的中点，点P在线段AM上运动(P不与A，M重合)，过点P作直线l⊥平面ABC，l与平面BCD交于点Q，给出下列命题：图9①BC⊥平面AMD；②Q点一定在直线DM上；③VC－AMD＝42.其中正确的是()A．①②B．①③C．②③D．①②③解析：由BC⊥AM，BC⊥MD，可得BC⊥平面AMD，即①正确；由BC⊥平面AMD可得平面AMD⊥平面ABC，则若过P作直线l⊥平面ABC，l与平面BCD交于点Q，Q点一定在直线DM上，即②正确；由VC－AMD＝12VC－ABD＝12×212×43＝823，即③不正确，综上可得，正确的命题序号为①②，故选A.答案：A12．(2012·东北三校一模)球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S－ABC的体积的最大值为()A.3B.13C.32D.33解析：记球O的半径为R，作SD⊥AB于D，连接OD，OS，则有R＝22sin60°＝23，SD⊥平面ABC，注意到SD＝SO2－OD2＝R2－OD2，因此要使SD最大，则需OD最小，而OD的最小值等于12×23＝33，因此高SD的最大值是232－332＝1，又棱锥S－ABC的体积等于13S△ABC·SD＝13×34×22×SD＝33SD，因此棱锥S－ABC的体积的最大值是33×1＝33，选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共20分)13．一个几何体的正(主)视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．解析：三棱锥、四棱锥和圆锥的正(主)视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观察者时其正(主)视图是三角形，其余的正(主)视图均不是三角形．答案：①②③⑤14．已知一正方体的棱长为m，表面积为n；一球的半径为p，表面积为q，若mp＝2，则nq＝________.解析：∵n＝6m2，q＝4πp2，∴nq＝6m24πp2＝6π.答案：6π15．(2012·哈尔滨模拟)给出命题：①在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行；②设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m.则m⊥α；③已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；④在三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在平面ABC内的射影是△ABC的垂心；⑤a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一条平行．其中，正确的命题是________(只填序号)．解析：①错误，垂直于同一个平面的两个平面也可能相交；③错误，“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件；⑤错误，只有当异面直线a，b垂直时才可以作出满足要求的平面；易知②④正确．答案：②④16．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论中正确的是________(把你认为正确的结论序号都填上)．图10①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥平面CB1D1；③AC1与底面ABCD所成的角的正切值是2；④二面角C－B1D1－C1的正切值是2；⑤过点A1与异面直线AD和CB1成70°角的直线有2条．解析：①由BD∥B1D1，且BD⊄平面CB1D1，且B1D1⊂平面CB1D1，得BD∥平面CB1D1，故①正确；②易得：AC1⊥平面CB1D1，故②正确；③直线与底面所成角的正切值应为22，故③错；④取B1D1的中点E，连接CE与C1E，则易知∠CEC1即为二面角的平面角，易求得tan∠CEC1＝2，命题成立；⑤由于两异面直线AD与CB1所成的角为π4，故过A1与两异面直线成70°的直线共有4条，故⑤错．答案：①②④三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝90°，P，Q分别为DE，AB的中点．图11(1)求证：PQ∥平面ACD；(2)求几何体B－ADE的体积．解：(1)取BC的中点M，连接PM，QM，图12易证PM∥DC，QM∥AC.又PM∩QM＝M，∴平面PQM∥平面ACD.又∵PQ⊂平面PQM，∴PQ∥平面ACD.(2)∵DC⊥平面ABC，∴AC⊥DC，又∵AC⊥BC，BC∩DC＝C，∴AC⊥平面BCDE，∴VB－ADE＝VA－BDE＝13S△BDE·AC＝43.18．(12分)如图，ABCD是正方形，ED⊥平面ABCD，EF∥BD，且EF＝12BD.图13(1)求证：BF∥平面ACE；(2)求证：平面AFC⊥平面EFC.证明：(1)记AC与BD的交点为O，图14则DO＝BO＝12BD，连接EO，∵EF∥BD且EF＝12BD，∴EF綊BO，则四边形EFBO是平行四边形．则BF∥EO，又EO⊂平面ACE，BF⊄平面ACE，故BF∥平面ACE.(2)连接FO，∵EF∥BD，且EF＝12BD，∴EF綊DO，则四边形EFOD是平行四边形，∴ED∥FO.∵ED⊥平面ABCD，∴FO⊥平面ABCD，由BD⊂平面ABCD，得BD⊥FO，又BD⊥AC，AC∩FO＝O，∴BD⊥平面AFC.∵EF∥BD，∴EF⊥平面AFC.又∵EF⊂平面EFC，∴平面AFC⊥平面EFC.19．(12分)(2012·江苏无锡高三质检)如图15，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，G分别是AA1，D1C，AD的中点，求证：图15(1)MN∥平面ABCD；(2)设α是过MN的任一平面，求证：α⊥平面B1BG.解：(1)证明：取CD的中点E，连接NE，AE，图16N为CD1的中点E为CD的中点⇒NE∥MA且NE＝MA，所以四边形MAEN为平行四边形．所以MN∥AE.MN∥AEMN⊄平面ABCDAE⊂平面ABCD⇒MN∥平面ABCD.(2)在正方形ABCD中，易证△BAG≌△ADE，所以∠DAE＋∠AGB＝∠ABG＋∠AGB＝90°，所以AE⊥BG.B1B⊥平面ABCDAE⊂平面ABCD⇒B1B⊥AE.AE⊥BGB1B⊥AEBG∩B1B＝B⇒AE⊥平面B1BG.又MN∥AE，所以MN⊥平面B1BG.MN⊥平面B1BGMN⊂α⇒α⊥平面B1BG.20．(12分)图17如图17，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD＝1，DB＝22.(1)证明PA∥平面BDE；(2)证明AC⊥平面PBD；(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．解：(1)设AC∩BD＝H，连接EH.在△ADC中，因为AD＝CD，且DB平分∠ADC，图18所以H为AC的中点．又由题设，E为PC的中点，故EH∥PA.又EH⊂平面BDE且PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE.(2)证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC.由(1)可得，DB⊥AC.又PD∩DB＝D，故AC⊥平面PBD.(3)由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线BC与平面PBD所成的角．由AD⊥CD，AD＝CD＝1，DB＝22，可得DH＝CH＝22，BH＝3