专题讲座14-试题讲解

量子力学专题讲座-试题讲解南京师范大学1998年研究生入学考试试卷学科专业：理论物理考试科目：量子力学（548）一、（10分）若要使电子的德布罗意波长达到1米，那么电子的速度应为多少？若将电子换为中子，其速度又为多少？通过计算，你认为宏观尺度上的物质波是否现实？解:设粒子速度远小于光速,则22122pEmvm由德布罗意关系hhhvpmvm对电子31279.1090810,1.6748210enmkgmkg代入346.6255910hJs得到343316.62559100.72736110/9.109081eehvmsm347276.62559103.9560010/1.67482101nnhvmsm显然要实现宏观尺度上的物质波,电子、中子的速度（能量）必须很小，比极低温度下的热运动能还小，这实际上是不可实现的。二、（10分）已知作一维运动的自由粒子的位置与动量之间的测不准关系为2xpx，导出其时间与能量之间的测不准关系。解：,EpppmxtpEmmp所以2xptE三（15分）（1）计算下列对易关系：]ˆ,ˆ[],,ˆ[],ˆ,[2zzxyLsyLpy。解：2ˆ[,],,2,ˆ[,](),,,,,ˆˆ[,]0yyyxzyzyyzzypyypypyiyLyypzpyypyzpyzpyizsL（2）若算符BAˆ,ˆ与它们的对易子]ˆ,ˆ[BA都对易，证明：]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[1BABnBAnn]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[1BAAnBAnn证：用数学归纳法。当1n时等式成立设n为1n时等式成立12ˆˆˆˆˆ[,](1)[,]nnABnBAB当为n时1121111ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]ˆˆˆˆˆ[,](1)[,]ˆˆˆˆˆ[,](1)[,]ˆˆˆ[,]nnnnnnnnABBABABBBABnBABBBABnBABnBAB同理可证]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,ˆ[1BAAnBAnn（3）证明在有心力场中运动的粒子，其角动量守恒。（不考虑自旋）证：在有心力场中，哈密顿为2222211()2HrLVrmrrrr其中角动量平方算苻只与,有关显然有2,0LH，,0HL又角动量算苻不显含时间所以2,LL是守恒量。四、（10分）一个质量为m的粒子在势阱0,0,21)(22xxxmxV中运动，求其基态，第一、二激发态的能量。解：这是半谐振子势，它的解是谐振子势解中满足(0)0的那些解（奇函数解）22/2()(),n=1,3,5,....xnnnxNeHx所以基态为n＝1，第一激发态为n＝3，第二激发态为n＝5相应的能量为1353711,,222EEE五、设有5个没有相互作用的质量为μ自旋为1的粒子，在一维谐振子势阱2221)(xxV中运动，问其体系的基态能量为多少？若将这5个粒子换成自旋为21的粒子（质量仍为μ），则体系的基态能量又为多少？解：自旋为1时为波色子,五个粒子可以处在同一个状态,所以体系的基态能量为152自旋为1/2时,为费米子,一个能级上最多只能有两个自旋相反的粒子,所以基态能量为135132212222六、（15分）计算算符IAˆˆ0的本征值与本征函数，其中,0为常数，I为22单位矩阵，为泡利算符。若1,0,00zyx，则本征值与本征函数为多少？解:在()zzs表象,算苻A的矩阵表示为000010A=0110010100110001xxyyzzxyzzxyxyziiii本征方程为00zxyxyziaaibb久期方程为0000222200000zxyxyzzzxyxyzxyiiii本征函数,000000()()zxyxyzxyzxyziaaibbiabbiba归一化2221212zzabaa本征函数为22zxyzi同理对000000()()zxyxyzzxyxyziaaibbaibaiab归一化2221212zzabbb本征函数为22xyzzi若1,0,00zyx10,01七、对于单电子原子，其哈密顿量为1,1SLrWrVH)()(2ˆ22（1）试证明轨道角动量L和自旋S不是守恒量，总角动量SLJ是守恒量。（2）若自旋—轨道相互作用SLrW)(可当作微扰，计算此系统的能量到一级修正。（)(2ˆ220rVH的本征能量为)0(nE，本征函数：sslmnllYrR,),()(为自旋波函数）解:(1)证:220ˆ()()()2HVrWrLSHWrLS0ˆ,,,(),()(),()HHWrLSWrLSWrWriLLLLLLSLS0ˆ,,,(),()(),()HHWrLSWrLSWrWriSSSSLSSLS它们与哈密顿不对易,所以不是守恒量.222()2122222JLSLSLSLSJLS02222222ˆ,,,()1,()21,()21,()02HHWrLSWrWrWrJJJJJLSJLSLSLS同理222022ˆ,,,()2,()0HHWrLSWrJJJLSLSLS所以,2JJ是守恒量.（2）若自旋—轨道相互作用SLrW)(可当作微扰，计算此系统的能量到一级修正。（)(2ˆ220rVH的本征能量为)0(nE，本征函数：sslmnllYrR,),()(为自旋波函数）解:查考周世勋书213-214页由于0H的本征值是简并的,可用简并情况下的微扰理论求解.既首先把0H属于本征值0nE的本征函数叠加起来作为零级近似波函数,解久期方程,求出H本征值nE的第一级近似和对应本征函数的零级近似.0H属于本征值0nE的本征函数可以选用无耦合表象的基矢,也可以选用耦合表象的基矢.选用耦合表象比较方便,因为解久期方程相当于把微扰哈密顿在所选用的表象中的矩阵对角化,而`H(或SL)在耦合表象是对角化的.所以用耦合表象的基矢的叠加作为H的零级近似本征函数,可以省去解久期方程的步骤令nljmljmljmc矩阵元可写为```````````,,22```022```22202220(),,,,,,()(),,,,13()(),,(),,243[(1)(1))()()24ljmljmnlnlnllljjmmHnljmHnljmRrWrrdrljmljmRrWrrdrljmJLljmjjllRrWrrdrLS令2`22,03[(1)(1))()()24nljnlHjjllRrWrrdr则mmjjllLJMljmmjlHH```````,,`)(代入(5.2-3)0])[(``````)1(,`ljmmmjjllljmnljmmjlcEH得到0][)1(`ljmnnljcEH由此得到能量的一级修正2(1)(1)2203[(1)(1))()()24nnljnlEEjjllRrWrrdr八、现有一两电子体系，已知一个电子处于2xs的本征态，计算：（1）体系的自旋波函数，（2）总自旋S的可能值与相应的几率，（3）2ˆS和zsˆ的平均值。解:两电子耦合共有四种状态(查考周世勋书224页)反对称的自旋单态12A和对称的自旋三态12312SSS常用物理常数：秒焦耳341063.6h千克311011.9em千克271067.1nm大连理工大学2002年一．玻尔量子论的核心思想有哪两条？二．波函数为ψ=exp(ikx-iωt)的平面波的群速度和相速度。三．简述定态的概念和和处于定态下的粒子具有什么样的特征？中山大学2001年简述态叠加原理和它对态函数所服从的波动方程的限制。中山大学2002年1．什么叫做定态，定态应该具有什么样的形式？2．假设力学量F不显含时间t,那么在任意定态下的平均值与时间无关。河南师范大学1996年假设一维谐振子处于的态中，求（1）势能的平均值（2）在何处找到粒子的几率最大。河南师范大学1998年1．假设一维粒子出于的状态，求（1）粒子动量的平均值（2）几率的最大位置。2．河南师范大学1999年1．写出德布罗意关系式，并且比较1000eV的质子和10000eV的电子谁的德布罗意波长长（只要求数量级正确）。2．氢原子处于基态，（a0为玻尔半径）求（1）势能的平均值（2）最可几半径。河南师范大学2000年已经知道粒子的状态用ψ（x,y,z）表示，求粒子处于z1-----zz范围内的几率。河南师范大学2002年1．为什么说微观粒子的状态可以用波函数来完全描述？2．量子态叠加原理和经典的态叠加原理有什么本质的区别？河南师范大学2002年1．什么是光电效应，光电效应有什么特点。2．经典波和几率波有什么区别？3．原子的轨道半径在量子力学中如何解释？中国科学院-----中国科学技术大学1994年（1998）年1，自由粒子的能量为E=p2/2m，写出物质波包的色散关系，并证明物质波包必然色散。中国科学院-----中国科学技术大学1995年1，简要的说明量子力学的态叠加原理和经典力学的叠加原理的本质区别。中国科学院-----中国科学技术大学1996年1，尝试设计一个实验来证明“单个粒子做为一个整体是不可分割的”中国科学院-----中国科学技术大学2000年在电子的双缝干涉实验中，什么结果完全不能用粒子性而必须用波动性来解释？为什么？中国科学院-----固体物理研究所2001年中国固体物理研究所1999年1．举出一个实验事实来说明微观粒子具有波粒二象性。2．量子力学的波函数和经典的波场有什么本质的区别？3．如图象所示，一个光子入射的半反半透镜面M，P1和P2为光子探测器，尝试用量子和经典的观点的来说明P1和P2是否能同时接收到光信号（l1=l2）