专题限实规范训练4

专题四立体几何(时间∶120分钟满分∶160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．(2010·湖南)图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，则h＝________cm.2.已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，有下列命题：①若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，m∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥α，m⊥n，则n⊥α；④若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，其中所有真命题的序号是________．3．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．4．有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为________．5.如图所示，用平行于AD且过BC的平面BCFE截长方体，得到几何体ABCD－A1EFD1，设AB＝BC＝5，B1E＝4，其主视图的面积为6，则其左视图的面积为________．6．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______________．7．已知平面α⊥β，α∩β＝l，P是空间一点，且P到平面α、β的距离分别是1、2，则点P到l的距离为________．8．已知几何体的三视图(如图)，则该几何体的体积为______________．9．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，E为AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为___________________________________．10.如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别为B、D.若增加一个条件，就能推出BD⊥EF.现有：①AC⊥β；②AC与α，β的夹角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.那么上述几个条件中能成为增加条件的是________(填上你认为正确的所有答案序号)．11．已知直线a，b和平面α，β，试利用上述元素并借助于它们之间的位置关系，构造出一个判断α∥β的真命题：___________________________.12.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为____________．13．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为________．14.三棱锥S－ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB与AC所成的角为90°；②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是12a.其中正确结论的序号是______________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15.(14分)(2010·安徽)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3)求二面角B－DE－C的大小．16.(14分)如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA＝AB＝1，AD＝3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．(1)求三棱锥E－PAD的体积；(2)当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；(3)证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF.17.(14分)如图：四棱锥P－ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD＝90°，面PAD⊥面ABCD，AB＝1，AD＝2，E、F分别为PC和BD的中点．(1)证明：EF∥面PAD；(2)证明：面PDC⊥面PAD；(3)求四棱锥P－ABCD的体积．18.(16分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．(1)若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；(2)点M在线段PC上，PM＝tPC，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB.19.(16分)如图所示，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝12AD.(1)求证：平面PAC⊥平面PCD；(2)在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，请确定E点的位置；若不存在，请说明理由．20．(16分)如图所示，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝π4，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．(1)证明：直线MN∥平面OCD；(2)求异面直线AB与MD所成角的大小；(3)求点B到平面OCD的距离．答案1.42.②④3.73πa24.2πa25.106．可填①③④⇒②与②③④⇒①中的一个7.58.4239.1310.①③11.a⊥α，a⊥β⇒α∥β12.8313.10514．①②③④15．方法一(1)证明如图(1)，设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连接EG，GH.又H为BC的中点，∴GH綊12AB.又EF綊12AB，∴EF綊GH.∴四边形EFHG为平行四边形．∴EG∥FH.而EG⊂平面EDB，∴FH∥平面EDB.(2)证明由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC.而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.又FH∥EG，∴AC⊥EG.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.(3)解EF⊥FB，∠BFC＝90°，∴BF⊥平面CDEF.在平面CDEF内过点F作FK⊥DE交DE的延长线于K，则∠FKB为二面角B－DE－C的一个平面角．设EF＝1，则AB＝2，FC＝2，DE＝3.又EF∥DC，∴∠KEF＝∠EDC，∴sin∠EDC＝sin∠KEF＝23.∴FK＝EFsin∠KEF＝23，tan∠FKB＝BFFK＝3，∴∠FKB＝60°.∴二面角B－DE－C为60°.方法二(1)证明∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC.又EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABC.以H为坐标原点，HB→为x轴正方向，HF→为z轴正方向，建立如图(2)所示的坐标系．设BH＝1，则A(1，－2,0)，B(1,0,0)，C(－1,0,0)，D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(0,0,1)．设AC与BD的交点为G，连接GE，GH，则G(0，－1,0)，∴GE→＝(0,0,1)．又HF→＝(0,0,1)，∴HF→∥GE→.又GE⊂平面EDB，HF⊄平面EDB，∴FH∥平面EBD.（2）证明AC→＝(－2,2,0)，GE→＝(0,0,1)，AC→·GE→＝0，∴AC⊥GE.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.（3）解BE→＝(－1，－1,1)，BD→＝(－2，－2，0)，设平面BDE的法向量为n1＝(1，y1，z1)，则BE→·n1＝－1－y1＋z1＝0，BD→·n1＝－2－2y1＝0，∴y1＝－1，z1＝0，即n1＝(1，－1,0)．CD→＝(0，－2,0)，CE→＝(1，－1,1)．设平面CDE的法向量为n2＝(1，y2，z2)，则n2·CD→＝0，y2＝0，n2·CE→＝0,1－y2＋z2＝0，z2＝－1，故n2＝(1,0，－1)．cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝12×2＝12，又0°≤〈n1，n2〉≤180°，∴〈n1，n2〉＝60°，即二面角B－DE－C为60°.16．(1)解三棱锥E－PAD的体积V＝13PA·S△ADE＝13PA·(12·AD·AB)＝36.(2)解当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行.∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，∴EF∥PC，又EF⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，∴EF∥平面PAC.(3)证明∵PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴BE⊥PA，又BE⊥AB，AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB，∴BE⊥平面PAB.又AF⊂平面PAB，∴AF⊥BE.又PA＝AB＝1，点F是PB的中点，∴PB⊥AF，又∵PB∩BE＝B，PB，BE⊂平面PBE，∴AF⊥平面PBE.∵PE⊂平面PBE，∴AF⊥PE.17．(1)证明如图，连接AC，∵ABCD为矩形且F是BD的中点，∴AC必经过F，又E是PC的中点，所以EF∥AP，∵EF在面PAD外，AP在面PAD内，∴EF∥面PAD.(2)证明∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD∩面ABCD＝AD，∴CD⊥面PAD，∴CD⊥AP.∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，∴AP⊥面PCD，又AP在面PAD内，所以面PDC⊥面PAD.(3)解作PH⊥AD于H，∵△PAD为等腰直角三角形，∠APD＝90°，AD＝2，∴PH＝12AD＝1.又面PAD⊥面ABCD，∴PH⊥面ABCD，即PH为棱锥P－ABCD的高．SABCD＝2×1＝2.∴VP－ABCD＝13×2×1＝23.18．(1)证明底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点，所以AD⊥QB，又PA＝PD，则PQ⊥AD，所以AD⊥平面PQB，而AD⊂面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD.(2)解连接AC，交QB于O点，连接OM，BM，QM，若使得PA∥平面MQB，则PA∥OM，∵PM＝tPC，∴AO＝tAC，在底面菱形ABCD中，可得t＝13.19．(1)证明设PA＝1，由题意BC＝PA＝1，AD＝2.∵PA⊥平面ABCD，∴PB与平面ABCD所成的角为∠PBA＝45°，∴AB＝1，由∠ABC＝∠BAD＝90°，易得CD＝AC＝2，由勾股定理逆定理得AC⊥CD.又∵PA⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，又CD⊂平面PCD，∴平面PAC⊥平面PCD.(2)解存在点E使CE∥平面PAB.理由如下：分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，设E(0，y，z)，则PE→=(0，y，z-1),PD→＝(0,2，－1)．∵PE→//PD→,∴y·(－1)－2(z－1)＝0.①∵AD→＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，又CE→＝(－1，y－1，z)，若使CE∥平面PAB，则CE→⊥AD→.∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0，∴y＝1.把y＝1代入①，得z＝12.∴E是PD的中点，∴存在E点使CE∥平面PAB，此时E为PD的中点．20．(1)证明作AP⊥CD于点P，并且连结OP，如图，分别以AB、AP、AO所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0，22，0)，D(－22，22，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)．如图，取OB中点E，连接ME、EN，则ME∥AB，又∵AB∥CD，∴ME∥CD.又NE∥OC，且ME∩NE＝E，CD∩OC＝C，∴平面MNE∥平面OCD.∴MN∥平面OCD.(2)解设AB与MD所成角为θ，∵AB→＝(1,0,0)，MD→＝(－22，22，－1)，.21||||||cosMDABMDAB又θ∈(0，π2]，∴θ＝π3.∴AB与MD所成角的大小为π3.（3）解C(1－22，22，0)，OD→＝(－22，22，－2)，CD→＝(－1,0,0)．设平面OCD的一个法向量n＝(x，y，z)．.,,,002222200xzyxCDnODn即∴x＝0，令y＝2，则z＝12.∴n＝(0，2，12)又BP→＝(－1，22，0)，,||||32