专题限时集训(22)[理数通用][2012二轮作业手册]

第1页共7页专题限时集训(二十二)[第22讲函数与方程思想和数形结合思想](时间：10分钟＋35分钟)1．已知一个三次项系数为1的三次函数，其图象与x轴两个交点的横坐标分别是0，3，且x＝1为其一个极值点，那么这个三次函数的极大值是()A．3B．2C．－2D．－32．方程sin2x＋2sinx＋a＝0一定有解，则a的取值范围是()A．[－3,1]B．(－∞，1]C．[1，＋∞)D．[－1,1]3．函数y＝ln1|2x－3|的图象为()图22－14．函数y＝2－sinx3－cosx的值域是________．1．斜率等于1的直线被圆x2＋y2＝2所截得的弦长等于2，则该直线在x轴和y轴上的截距之和等于()A.2B．22C．－22D．02．若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈0，12成立，则a的最小值是()A．0B．－2C．－52D．－33．某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回．设t为出发后的某一时刻，S为汽艇与码头在时刻t的距离，下列图象中能大致表示S＝f(t)的函数关系的为()第2页共7页图22－24．已知y＝f(x)是最小正周期为2的函数，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)(x∈R)图象与y＝|log5|x||图象的交点的个数是()A．8B．9C．10D．125．若a，b是正数，且满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．6．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时f(x)＝log12x＋1，x∈[0，1，1－|x－3|，x∈[1，＋∞，则关于x的方程f(x)＝a(－1a1)的所有解之和为________．(用a表示)第3页共7页7.证明：当正整数n8时，(n)n＋1(n＋1)n.8．函数f(x)＝ax－bx＋lnx.当f(x)在x＝2，x＝4处取得极值时，若方程f(x)＝c在区间[1,8]内有三个不同的实数根，求实数c的取值范围(ln2≈0.693)．第4页共7页专题限时集训(二十二)【基础演练】1．B【解析】设这个三次函数的解析式为y＝x(x－3)(x－b)，即y＝x3－(3＋b)x2＋3bx.y′＝3x2－2(3＋b)x＋3b，由x＝1时，导数等于零得b＝－3.即函数的解析式是y＝x3－3x，不难求出这个函数的极大值点是x＝－1，极大值等于2.2．A【解析】构造函数f(x)＝sin2x＋2sinx，则函数f(x)的值域是[－1,3]，因为方程sin2x＋2sinx＋a＝0一定有解，所以－1≤－a≤3，∴－3≤a≤1.3．A【解析】易知2x－3≠0，考虑对称性，当x32时，函数为减函数，所以选A.4.3－34，3＋34【解析】函数y的几何意义是指坐标平面上定点A(3,2)与动点M(cosx，sinx)连线的斜率，而动点M的两坐标的平方和为1，动点M是坐标平面内单位圆上的点组成的，问题等价于求定点A和单位圆上的动点连线斜率的取值范围．如图，函数y的值域的两个端点，就是过点A的单位圆的两条切线AM，AN的斜率，设切线方程为y－2＝k(x－3)，即kx－y－3k＋2＝0，圆心到直线的距离为|－3k＋2|1＋k2＝1，解得k＝3±34，故所求的函数值域为3－34，3＋34.【提升训练】1．D【解析】设直线方程为y＝x＋b，即x－y＋b＝0，由2－b22＝1，解得b＝±2.当b＝2时，直线在x轴上的截距为－2，此时截距之和等于零；同理得当b＝－2时，截距之和等于零．2．C【解析】不等式化为a≥－x＋1x，设f(x)＝－x＋1x，易证f(x)在区间0，12上单调递增，所以f(x)max＝－52，所以，不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈0，12成立的a的最小值是－52.3．C【解析】当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时，S＝vt，图象为一条线段；当环岛两周时，S两次增至最大，并减少到与环岛前的距离S0；上岛考察时，S＝S0；返回时，S＝S0－vt′，图象为一条线段．所以选C.4．C【解析】因函数y＝f(x)(x∈R)与y＝|log5|x||均为偶函数，故研究它们在y右侧交点情况即可．作函数图象如图所示，从图可知，当0x5时有四个交点，当x＝5时有一个交点，在x5时没有交点，故在y右侧交点个数为5，由对称性知，在y轴左侧交点个数也是5.则两个函数图象交点个数为10.选C.第5页共7页5．[9，＋∞)【解析】方法1：∵ab＝a＋b＋3，∴a≠1，b＝a＋3a－10，从而a1或a－3.又a0，∴a1，∴a－10，所以ab＝f(a)＝a·a＋3a－1＝(a－1)＋4a－1＋5≥9，当且仅当a－1＝4a－1，即a＝3时取等号，当1a3时，函数f(a)单调递减，当a3时函数f(a)单调递增，所以ab的取值范围是[9，＋∞)．方法2：设ab＝t，则a＋b＝t－3，∴a，b可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0的两个正根，从而有t－32－4t≥0，t－30，t0，解得t≥9，即ab≥9.方法3：由于a0，b0，ab＝a＋b＋3，则有ab≥2ab＋3，即(ab－3)(ab＋1)≥0，所以ab－3≥0，即ab≥9.6.12a－1－1a0，1－2a0≤a1【解析】当x0时，函数的解析式是f(x)＝log21－x，x∈－1，0，|x＋3|－1，x∈－∞，－1]，函数图象如图所示，当－1a0时，方程f(x)＝a有五个根，最左边的两个根之和为－6，最右边的两根之和为6，中间的一个根是满足log12(x＋1)＝a的x，故x＝12a－1，同理当0a1时方程f(x)＝a的所有根之和是满足log2(1－x)＝a的x值，即x＝1－2a，当a＝0时所有根之和为0，故所有根之和为12a－1－1a0，1－2a0≤a1.7．【解答】证明：设a＝(n)n＋1，b＝(n＋1)n，则lna＝n＋1lnn，lnb＝nlnn＋1，作商有lnalnb＝n＋1lnnnlnn＋1＝lnnnlnn＋1n＋1.第6页共7页构造函数f(x)＝lnxx，当xe时，f′(x)＝1－lnxx20，所以函数f(x)＝lnxx在(e，＋∞)内是减函数．从而，当正整数n8时，n∈(e，＋∞)，n＋1∈(e，＋∞)，所以有lnnnlnn＋1n＋10，即lnalnb1，所以lnalnb，即ab.所以(n)n＋1(n＋1)n.8．【分析】方程f(x)＝c在区间[1,8]内有三个不同的实数根，类似于下面的图示，由于函数的两个极值点在区间[1,8]内，根据图示，只有当c介于f(2)，f(8)中的较大者，f(1)，f(4)的较小者时即可．【解答】∵f(x)＝ax－bx＋lnx，∴f′(x)＝a＋bx2＋1x.∵f(x)在x＝2，x＝4处取得极值，∴f′(2)＝0，f′(4)＝0，即a＋b4＋12＝0，a＋b16＋14＝0，解得a＝－16，b＝－43.∴f(x)＝－x6＋43x＋lnx，由f′(x)＝－16－43x2＋1x＝－x2－6x＋86x2＝－x－2x－46x2，当x∈(1,2)时，f′(x)0，故f(x)在(1,2)上单调递减；当x∈(2,4)时，f′(x)0，f(x)在(2,4)上单调递增；当x∈(4,8)时，f′(x)0，f(x)在(4,8)上单调递减．f(1)＝－16＋43＋ln1＝76≈1.167，f(2)＝－26＋46＋ln2＝13＋ln2≈1.026，f(4)＝－46＋43×4＋ln4＝－13＋2ln2≈1.053，f(8)＝－86＋43×8＋ln8＝－76＋3ln2≈0.912.故函数在[1,8]上的最大值是f(1)，最小值是f(8)．方程f(x)＝c在区间[1,8]内有三个不同的实数根，则只要c介于函数的极大值和极小值之间即可，故c的取值范围是13＋ln2，－13＋2ln2.第7页共7页