专题限时集训(5)[理数通用][2012全品二轮作业手册]

第1页共6页专题限时集训(五)[第5讲三角恒等变换与三角函数](时间：10分钟＋35分钟)1．sin15°＋cos165°的值为()A.22B．－22C.62D．－622．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．－45B．－35C.35D.453．设函数f(x)＝cosωx(ω0)，将y＝f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于()A.13B．3C．6D．94．将函数y＝sinωx(ω0)的图象向左平移π6个单位后的图象如图5－1所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是()图5－1A．y＝sinx＋π6B．y＝sinx－π6C．y＝sin2x＋π3D．y＝sin2x－π31．若sinθ＋cosθ＝2，则tanθ＋π3的值是()A．2－3B．－2－3C．2＋3D．－2＋32．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的部分图象如图5－2所示，则ω，φ的值分别为()图5－2第2页共6页A.12，π3B．2，π3C.12，π6D．2，π63．设函数f(x)＝2cosπ2x－π3，若对于∀x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为()A．4B．2C．1D.124．将函数y＝(sinx＋cosx)(sinx－cosx)的图象向左平移π4个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则y＝g(x)的图象()A．关于原点对称B．关于y轴对称C．关于点－π8，0对称D．关于直线x＝π8对称5．若f(x)＝asinx＋π4＋bsinx－π4(ab≠0)是偶函数，则实数a，b满足的关系是____________．6．已知π2βα3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sinα＋cosα的值________．7.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π)的部分图象如图5－3所示．(1)求ω，φ的值；(2)设g(x)＝22fx2fx2－π8－1，当x∈0，π2时，求函数g(x)的值域．图5－3第3页共6页8．已知函数f(x)＝cos2ωx＋3sinωxcosωx(ω0)的最小正周期为π.(1)求f2π3的值；(2)求函数f(x)的单调区间及其图象的对称轴方程．第4页共6页专题限时集训(五)【基础演练】1．B【解析】方法1：sin15°＋cos165°＝sin15°－cos15°＝2()sin15°cos45°－cos15°sin45°＝2sin(－30°)＝－22.方法2：显然sin15°－cos15°0，(sin15°－cos15°)2＝1－sin30°＝12，故sin15°－cos15°＝－22.2．B【解析】解法1：在角θ终边上任取一点P(a,2a)(a≠0)，则r2＝|OP|2＝a2＋(2a)2＝5a2，∴cos2θ＝a25a2＝15，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tanθ＝2aa＝2，cos2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝－35.3．C【解析】方法1：将y＝f(x)的图象向右平移π3后得到的函数是y＝cosωx－π3ω，因为该函数的图象与原图象重合，所以－π3ω＝2kπ(k∈Z)，得ω＝－6k，k∈Z，ω的最小值等于6.方法2：π3是函数f(x)的最小正周期2πω的整数倍，即2πωk＝π3(k∈Z)，即ω＝6k(k∈Z)，又ω0，所以ω的最小值等于6.4．C【解析】平移后不改变函数的周期，即不改变ω的值，根据图中数据可以列出关于ω的方程．将函数y＝sinωx(ω0)的图象向左平移π6个单位后得到的函数解析式为y＝sinωx＋π6，由图象知ω7π12＋π6＝3π2，所以ω＝2，所以平移后的图象所对应函数的解析式是y＝sin2x＋π3.【提升训练】1．B【解析】由sinθ＋cosθ＝2，得θ＝2kπ＋π4，所以tanθ＋π3＝tanπ4＋π3＝1＋31－3＝－2－3.2．B【解析】最小正周期2πω＝5π6－－π6＝π，解得ω＝2，令2×－π6＋φ＝0，得φ＝π3.3．B【解析】对于∀x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)等价于函数f(x1)是函数f(x)的最小值、f(x2)是函数f(x)的最大值．函数f(x)的最小正周期为4，故|x1－x2|≥12T＝2.4．A【解析】y＝－cos2x，故平移后得g(x)＝－cos2x＋π4＝sin2x，这个函数是奇函数，故其图象关于原点对称．第5页共6页5．a＋b＝0【解析】f(x)＝asinx＋π4＋bsinx－π4＝a22sinx＋22cosx＋b22sinx－22cosx＝22[(a＋b)sinx＋(a－b)cosx]，因为f(x)是偶函数，所以对任意x，f(－x)＝f(x)，即22[(a＋b)sin(－x)＋(a－b)cos(－x)]＝22[(a＋b)sinx＋(a－b)cosx]，即(a＋b)sinx＝0对任意x恒成立，即a＋b＝0.6.36565【解析】根据已知得sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，所以sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－35×1213＋－45×513＝－5665.所以(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α＝1－5665＝965.因为π2α3π4，所以sinα＋cosα0，所以sinα＋cosα＝36565.7．【解答】(1)由图象知T＝4π2－π4＝π，则ω＝2πT＝2.由f(0)＝－1得sinφ＝－1，即φ＝2kπ－π2(k∈Z)，∵|φ|π，∴φ＝－π2.(2)由(1)知f(x)＝sin2x－π2＝－cos2x，∴g(x)＝22fx2fx2－π8－1＝22(－cosx)－cosx－π4－1＝22cosx22cosx＋sinx－1＝2cos2x＋2sinxcosx－1＝cos2x＋sin2x＝2sin2x＋π4.∵x∈0，π2，∴2x＋π4∈π4，5π4，∴sin2x＋π4∈－22，1，∴g(x)的值域为[－1，2]．8．【分析】(1)利用降幂、辅助角公式先化为f(x)＝sin2ωx＋π6＋12，再求解．(2)结合正弦函数的单调区间、对称轴方程求解．第6页共6页【解答】(1)f(x)＝12(1＋cos2ωx)＋32sin2ωx＝12＋sin2ωx＋π6.因为f(x)的最小正周期为π，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.所以f(x)＝sin2x＋π6＋12，所以f2π3＝－12.(2)分别由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2(k∈Z)，可得kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)，kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3(k∈Z)．所以，函数f(x)的单调增区间为kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)；函数f(x)的单调减区间为kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)．由2x＋π6＝kπ＋π2(k∈Z)得x＝k2π＋π6(k∈Z)．所以f(x)图象的对称轴方程为x＝k2π＋π6(k∈Z)．