三种卡尔曼滤波理论

经典卡尔曼滤波动态系统的卡尔曼滤波数学模型包括状态方程和观测方程，对于线性系统，其离散形式为𝑋𝑘=𝛷𝑘,𝑘−1𝑋𝑘−1+𝐺𝑘−1𝑊𝑘−1𝐿𝑘=𝐻𝑘𝑋𝑘+𝑉𝑘其中，𝑋𝑘为系统在𝑡𝑘时刻的n×1维状态向量，𝛷𝑘,𝑘−1为系统从𝑡𝑘−1时刻到𝑡𝑘时刻的n×n维状态转移矩阵，𝑊𝑘−1为𝑡𝑘−1时刻的r×1动态噪声，𝐺𝑘−1为𝑡𝑘−1时刻的n×r动态噪声矩阵，𝐿𝑘为系统在𝑡𝑘时刻的m×1维观测向量，𝐻𝑘为系统在𝑡𝑘时刻的m×n维观测矩阵，𝑉𝑘为系统在𝑡𝑘时刻的m×1维观测噪声。根据最小二乘原则，可推得卡尔曼滤波递推公式为：1）状态向量一步预测值为𝑋̂(𝑘,𝑘−1)=𝛷𝑘,𝑘−1𝑋̂(𝑘−1,𝑘−1)2）状态向量一步预测值方差矩阵为P(𝑘,𝑘−1)=𝛷𝑘,𝑘−1P(𝑘−1,𝑘−1)𝛷𝑘,𝑘−1𝑇+𝐺𝑘−1𝑄𝑘−1𝐺𝑘−1𝑇其中，𝑄𝑘为动态噪声方差矩阵。3）状态向量估计值为𝑋̂(𝑘,𝑘)=𝑋̂(𝑘,𝑘−1)+𝐽𝑘(𝐿𝑘−𝐻𝑘𝑋̂(𝑘,𝑘−1))4）状态向量估计值方差矩阵为P(𝑘,𝑘)=(𝐼−𝐽𝑘𝐻𝑘)P(𝑘,𝑘−1)其中，𝐽𝑘为滤波增益矩阵，具体形式如下𝐽𝑘=P(𝑘,𝑘−1)𝐻𝑘𝑇(𝐻𝑘P(𝑘,𝑘−1)𝐻𝑘𝑇+𝑅𝑘)−1𝑅𝑘为观测噪声方差矩阵。基于方差补偿的自适应卡尔曼滤波假定{𝑊𝑘}和{𝑉𝑘}是正态序列，𝑋0是正态向量。则定义l步预测残差是V𝑘+𝑙=𝐿𝑘+𝑙−𝐿̂(𝑘+𝑙,𝑘)其中，𝐿𝑘+𝑙，𝐿̂(𝑘+𝑙,𝑘)分别为第𝑘+𝑙期观测值和它的最佳观测值𝐿̂(𝑘+𝑙,𝑘)=𝐻𝑘+𝑙𝛷𝑘+𝑙,𝑘𝑋̂(𝑘,𝑘)，则V𝑘+𝑙为正态向量。𝑉𝑘+𝑙的方差阵𝑆𝑣𝑣为：𝑆𝑣𝑣=𝐻𝑘+𝑙𝛷𝑘+l,𝑘𝑃𝑘Φ𝑘+𝑙,𝑘𝑇𝐻𝑘+𝑙𝑇+𝑅𝑘+𝑙+∑𝐻𝑘+𝑙𝛷𝑘+𝑙,𝑘+𝑖𝑙𝑖=1𝐺𝑘+𝑙,𝑘+𝑖−1𝑄𝑘+𝑖−1𝐺𝑘+𝑙,𝑘+𝑖−1𝑇𝛷𝑘+𝑙,𝑘+𝑖𝑇𝐻𝑘+𝑙𝑇记𝐻𝑘+𝑙𝛷𝑘+𝑙,𝑘+𝑖𝐺𝑘+𝑙,𝑘+𝑖−1=𝐴𝑘+𝑙,𝑘+𝑖=[𝑎ℎ𝑗(𝑘+𝑙,𝑘+𝑖)]，式中h=1,2,…,m；j=1,2,…,r。假定𝑄𝑘+𝑖−1在观测时间段𝑡𝑘+1，𝑡𝑘+2，…，𝑡𝑘+N上为常值对角阵，即𝑄𝑘+𝑖−1=[𝜎112⋯0⋮⋱⋮0⋯𝜎𝑟𝑟2]=𝑄并记diagQ=(𝜎112,𝜎222,…,𝜎𝑟𝑟2)𝑇。根据E(V𝑘+𝑙𝑇V𝑘+𝑙)=tr[V𝑘+𝑙V𝑘+𝑙𝑇]=tr[𝑆𝑣𝑣]，于是记V𝑘+𝑙𝑇V𝑘+𝑙=tr[𝑆𝑣𝑣]+𝜂𝑘+𝑙其中，𝜂𝑘+𝑙为零均值随机变量，l=1,2,…,N。令𝐸𝑘+𝑙=V𝑘+𝑙𝑇V𝑘+𝑙−tr[𝐻𝑘+𝑙𝛷𝑘+l,𝑘𝑃𝑘Φ𝑘+𝑙,𝑘𝑇𝐻𝑘+𝑙𝑇]−tr[𝑅𝑘+𝑙]又记E=[𝐸𝑘+𝑙,…,𝐸𝑘+𝑁]𝑇η=[𝜂𝑘+𝑙,…𝜂𝑘+𝑁]𝑇A=[𝐴𝑘+𝑙,…𝐴𝑘+𝑁]𝑇则有E=AdiagQ+η上式就是关于diagQ的线性方程组。当N≥r时，有唯一解。记diagQ的LS估计为diagQ̂=(𝐴𝑇𝐴)−1𝐴𝑇E根据上面各式求得任意长度时间段上的Q̂，把它作为动态噪声协方差阵的实时估计。基于极大验后估计的自适应卡尔曼滤波动态噪声向量𝑊𝑘、观测噪声向量V𝑘是互相独立的正态白噪声向量，满足E(𝑊𝑘)=𝑞,E(𝑉𝑘)=𝑟，若噪声的统计特性已知，可由极大验后估计原理得到自适应卡尔曼滤波的递推方程为：1）状态向量一步预测值为𝑋̂(𝑘,𝑘−1)=𝛷𝑘,𝑘−1𝑋̂(𝑘−1,𝑘−1)+𝑞𝑘−12）状态向量一步预测值方差矩阵为P(𝑘,𝑘−1)=𝛷𝑘,𝑘−1P(𝑘−1,𝑘−1)𝛷𝑘,𝑘−1𝑇+𝑄𝑘−13）状态向量估计值为𝑋̂(𝑘,𝑘)=𝑋̂(𝑘,𝑘−1)+𝐽𝑘(𝐿𝑘−𝐻𝑘𝑋̂(𝑘,𝑘−1))4）状态向量估计值方差矩阵为P(𝑘,𝑘)=(𝐼−𝐽𝑘𝐻𝑘)P(𝑘,𝑘−1)其中，𝐽𝑘为滤波增益矩阵，具体形式如下𝐽𝑘=P(𝑘,𝑘−1)𝐻𝑘𝑇(𝐻𝑘P(𝑘,𝑘−1)𝐻𝑘𝑇+𝑅𝑘)−1𝑅𝑘为观测噪声方差矩阵。若噪声均值向量q,r和协方差阵𝑄𝑘，𝑅𝑘未知时，可以利用滤波估值𝑋̂(𝑗,𝑗)和预报值𝑋̂(𝑗,𝑗−1)近似代替计算较复杂的平滑估值𝑋̂(𝑘,𝑗)和𝑋̂(𝑘,𝑗−1)。由于地铁站口基坑的开挖施工，对周围建筑物的沉降造成影响，尤其是高层建筑物，为保障基坑开挖的正常运行以及周围建筑物的安全，研究和预测周围建筑物尤其是高层建筑物的沉降变形显得非常重要。