丛文龙版排列组合题型总结站在巨人的肩膀上,稍作整理

丛文龙-1-排列组合题型总结排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。站在巨人的肩膀上，稍作整理。一．直接法、1．特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A，其余2位有四个可供选择24A，由乘法原理：25A24A=2402．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有35A=60，1不在千位时，千位有14A种选法，个位有14A种，余下的有24A，共有14A14A24A=192所以总共有192+60=252练习9．由0，1，2，3这四个数字可以组成没有重复数字且不能被5整除的四位数的个数是（）A．24个B．12个C．6个D．4个16．（本题满分12分）用0，1，2，3，4，5这六个数字（1）可组成多少个不同的自然数？（2）可组成多少个无重复数字的五位数？（3）组成多少个无重复数字的五位奇数？（4）可组成多少个无重复数字的能被5整除的五位数？（5）可组成多少个无重复数字的且大于31250的五位数？（6）可组成多少个无重复数字的能被3整除的五位数？解析：16．（1）解：可组成6+55432656565656=46656个不同的自然数（2）可组成60034565515AAAA或个无重复数字的五位数（3）可组成288341413AAA个无重复数字的五位奇数（4）可组成216)(344545AAA个无重复数字的能被5整除的五位数（5）可组成3251232233445AAA个无重复数字的且大于31250的五位数？（6）可组成216)(444555AAA个无重复数字的能被3整除的五位数？间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法2435462AAA=252例2有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而丛文龙-2-可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352AC个，其中0在百位的有2242C22A个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数333352AC-2242C22A=432（个）二．插空法当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。例3在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有11019AA=100中插入方法。1．4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会，出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名男歌手，共有出场方案的种数是（）A．6A33B．3A33C．2A33D．A22A41A445．（北京理科第5题）记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（B）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种练习10、两男两女4个同学排成一列照相，如果要求男女相间而立，则满足条件的方法数共有（▲▲▲）A．4种B．8种C．12种D．6种答案：B（注意）三．捆绑法当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。例44名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A种排法，而男生之间又有44A种排法，又乘法原理满足条件的排法有：44A×44A=576练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种（3324AC）2．某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（1928129AC）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C其余的就是19所学校选28天进行排列）20．（12分）7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？(1)7人站成一排，要求较高的3个学生站在一起；(2)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；(3)任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．20解：（1）4343144;AA（2）1112228;AAA（3）6376CC33C=140．21．（12分）4位学生与2位教师并坐合影留念，针对下列各种坐法，试问：各有多少种不同的坐法？(1)教师必须坐在中间；（48）(2)教师不能坐在两端，但要坐在一起；144(3)教师不能坐在两端，且不能相邻．44A23A丛文龙-3-四．闸板法名额分配或相同物品的分配问题，适宜采用闸办法例5某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种。分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有711C种练习1.(a+b+c+d)15有多少项？当项中只有一个字母时，有14C种（即a.b.c.d而指数只有15故01414CC。当项中有2个字母时，有24C而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，114C即24C114C当项中有3个字母时34C指数15分给3个字母分三组即可21434CC当项种4个字母都在时31444CC四者都相加即可．3．不定方程X1+X2+X3+…+X50=100中不同的正整数解有（4999C）4．不定方程X1+X2+X3+…+X50=100中不同的自然数解有（）练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（216C）15、将7个不同的小球全部放入编号为2和3的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不少于该盒子的编号，则不同的放球方法共有________种（用数字作答）.答案：91五．平均分堆问题例66本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？分析：分出三堆书（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由顺序不同可以有33A=6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有33222426ACCC=15种例24.6本不同的书(1)分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法?(2)分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？(3)分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分法？(4)甲一本，乙两本，丙三本，有多少种不同的分法?(5)分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多少种不同的分法?5．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）A．4448412CCCB．44484123CCCC．334448412ACCCD．334448412ACCC练习：1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。丛文龙-4-3,52,4六．合并单元格解决染色问题例7（全国卷（文、理））如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）。分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5．下面分情况讨论:(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素①③⑤的全排列数A44（ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得A44种着色法．（ⅲ）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格①从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有AC3334种方法．由加法原理知：不同着色方法共有2ACA333444=48+24=72（种）练习1（天津卷（文））将3种作物种植在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共种（以数字作答）（72）2．（江苏、辽宁、天津卷（理））某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有种（以数字作答）．（120）图3图43．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）4．如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是种（84）图5图6图75．将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共种（420）19．（12分）用红、黄、蓝、绿、黑5种颜色给如图的a、b、c、d四个区域染色，若相邻的区域不能用相同的颜色，试问：不同的染色方法的种数是多少？123452,4546132EDCBA4321DBCEA1345图1丛文龙-5-七．递推法1.一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．解根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．612C=924（种）．例八一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？分析：设上n级楼梯的走法为an种，易知a1=1,a2=2,当n≥2时，上n级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有an-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有an-2种走法，由加法原理知：an=an-1+an-2,据此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+a3=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。例2：五个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上，那么不同的站队方式共有()（A）60种（B）44种（C）36种（D）24种解：首先我们把人数推广到n个人，即n个人排成一列，重新站队时，各人都不站在原来的位置上。设满足这样的站队方式有na种，现在我们来通过合理分步，恰当分类找出递推关系：第一步：第一个人不站在原来的第一个位置，有1n种站法。第二步：假设第一个人站在第2个位置，则第二个人的站法又可以分为两类：第一类，第二个人恰好站在第一个位置，则余下的2n个人有2na种站队方式；第二类，第二个人不站在第一个位置，则就是第二个人不站在第一个位置，第三个人不站在第三个位置，第四个人不站在第四个位置，……，第n个人不站在第n个位置，所以有1na种站队方式。由分步计数原理和分类计数原理，我们便得到了数列}{na的递推关系式：))(1(12nnnaana，显然，1,021aa，再由递推关系有9,243aa，445a，故应选(B)九.几何问题1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有种（335C+3=33）2.四面体的棱中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？(310C-436C+4-334C+3-6C34+6+2×6=29)(2)以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？三棱锥C104-4C64-6C4