东北大学秦皇岛分校2008年解析几何期末考试题(含答案)

-1-东北大学秦皇岛分校课程名称：解析几何试卷：A答案考试形式：闭卷授课专业：信息与计算科学考试日期：2008年1月11日试卷：共3页题号一二三四五六七总分得分阅卷人一、填空：（每题3分，共15分）1、在直角坐标系中，点(3,2,5)P到平面2280xyz的距离为2；2、经过点0(1,2,3)P且与平面3240xyz平行的平面方程为3250xyz；3、在右手直角坐标系中，(3,4,5),(2,1,2)，则,22arccos3；4、已知：2,3，则23时，与相互垂直；5、在右手直角坐标系下，点(1,2,3)到直线314212xyz的距离为53。二、计算题：（每题6分，共24分）1、已知：2，,3，求23；解：23(23)(23)……（3分）224129＝161222cos36273。……（6分）2、在右手直角坐标系中，一个四面体的顶点为(4,1,3),(7,7,6),(5,4,1),(6,3,5)ABCD，求它的体积。解：由已知得(3,6,3),(1,3,2),(2,2,2)ABACAD，则四面体的体积为以,,ABACAD为棱的平行六面体的16，……（3分）即16VABACAD＝312|632|322＝3。……（6分）3、已知两条直线方程分别为：12541522:,:,12315xyzxyzllk则k为何值时，12,ll相交？解：1212(5,4,1),(5,2,2),(1,2,3),(1,,5)MMvvk12,ll相交的充要条件是1212,,MMvv共面，且12//vv，……（3分）即011620135k，且12//vv，50,k且此时12//vv。……（6分）4、求平面1:2210xyz和2:42470xyz的距离。解：从1上任取一点000(,,)Mxyz，即0002210xyz，两平面间的距离即点M到2的距离，……（3分）装订线装订线内不要答题学号姓名班级-2-0002224247324(2)(4)xyzd。……（6分）三、求过直线11:211xyzl且平行于直线21:212xyzl的平面方程。（10分）解：设所求平面为，过点(1,0,0)，且与12(2,1,1),(2,1,2)vv平行，……（3分）所以，所求平面为12211012xyz，……（6分）即210xy。……（10分）四、在直角坐标系下，求通过点(2,1,3)，平行于平面:220xyz且垂直于直线123:324xyzl的直线方程。（10分）解：设所求直线的一个方向向量为(,,)vXYZ，则20,3240,XYZXYZ……（4分）解得3,47,8XZYZ取8Z，则6,7XY，……（8分）故所求直线为213678xyz。……（10分）五、求曲线20xyxz绕直线121xyz旋转生成的旋转面的方程。（14分）解：点(,,)Mxyz在旋转面上点(,,)Mxyz在母线上经过0000(,,)Mxyz的纬圆上……（2分）即20000222222000000,0,,()2()()0,xyxzxyzxyzxxyyzz……（7分）消去000,,xyz为4222200202,22,xxxyzxyzx即22221[(2)](2)2xyzxyzxyz，……（12分）所以，所求旋转面的方程为22334244840xzxyxzyzxyz。……（14分）六、求单叶双曲面22219416xyz上过点(3,2,4)的直母线方程。（12分）解：22219416xyz的两族直母线为()(1)0,342(1)()0,234xzyyxz和()(1)0,342(1)()0,234xzyyxz……（6分）将(3,2,4)分别代入得0和，……（10分）分别带回得，经过点(3,2,4)的直母线方程分别为430,20,xzy和463120,463120.xyzxyz……（12分）装订线装订线内不要答题学号姓名班级-3-七、在平面右手直角坐标系中，椭圆长、半短轴分别在直线1:20lxy和2:0lxy上，且长半轴为2，短半轴为1，求椭圆方程。（15分）解：设已知坐标系为Ⅰ，20,0,xyxy解得1,1xy，……（2分）建立坐标系Ⅱ：12''[';,]Oee，12:11xyl，取'O的Ⅰ坐标为(1,1)，1'e为11(,)22，则2'e为11(,)22，……（6分）Ⅰ到Ⅱ点的坐标变换公式为：11''1,2211''1,22xxyyxy……（8分）Ⅱ到Ⅰ点的坐标变换公式为：11',2211'2,22xxyyxy……（10分）在坐标系Ⅱ中，椭圆的方程为：22''14xy，……（12分）则在坐标系Ⅰ中，椭圆的方程为2211()1122(2)1422xyxy即22556161680xyxyxy。……（15分）装订线装订线内不要答题学号姓名班级