东北大学秦皇岛分校2010年解析几何期末考试题(含答案),优酷有配套讲解视频

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资源描述

-1-东北大学秦皇岛分校课程名称:解析几何试卷:A(答案)考试形式:闭卷授课专业:信息与计算科学数学与应用数学考试日期:2011年1月4日试卷:共2页题号一二三四总分得分阅卷人一、填空(每空3分,共36分)已知1,2,1,0,1,1,ab那么(,)ab6,与,ab均垂直的单位向量为11,1,13;单位向量123,,eee满足1230eee,则122331eeeeee32;曲线223yaxbx,设ytx,参数方程为23,atattxybb;直线2111341xyz与平面32150xyz的位置关系为直线在平面内;直线11112xyz与平面230xyz的交点是(1,0,-1);曲面22221xyz与20yz的交线关于xOy面的投影柱面为2221xy;将曲线221,(3,6)630yzx绕z轴旋转所得曲面方程为222163xyz,当3时,曲面为旋转椭球面;当36时,曲面为旋转单叶双曲面;曲面22249xzy叫做双曲抛物面,平面2x截割曲面的截线方程为212,29zyx。二、解答下列各题(每题8分,共48分)1、求以曲线240yxz为准线,母线方向为1,1,1的柱面方程。解:设1111(,,)Mxyz为准线上任一点,则过1M的母线为111111xxyyzz且有211140yxz把1110,,zyyzxxz代入2114yx,得柱面方程2()4()yzxz2、证明空间曲线2,3,xtytzt完全在曲面225xyz上。证明:把2,2,xtytzt代入曲面2210xyz得221010tt对于任意t都成立,故空间曲线完全在曲面上。3、求球心在(3,3,2)C且与平面23110xyz相切的球面方程。解:点(3,3,2)C到平面23110xyz的距离为:636111414d所以,所求球面方程为装订线装订线内不要答题学号姓名班级-2-222(3)(3)(2)14xyz即22266480xyzxyz4、列举出我们所学过的曲面中的直纹面。解:柱面,锥面,单叶双曲面,双曲抛物面。5、求以原点为顶点,准线为(,)0fxzyh的锥面方程,其中0h为常数。解:设1111(,,)Mxyz为准线上任一点,则过1M的母线为111xyzxyz且有111(,)0fxzyh(1)把11,hxhzxzyy代入(1),得(,)0hxhzfyy。6、化直线41202230xyzxyz为标准方程。解:令0z,得直线上的点为(-5,7,0)直线的方向向量为:1146,6,3212ijkv故直线的标准方程为57221xyz三、利用向量证明2123222222222123123123123123()()()aaabbbaaabbbcccccc,并说明何时等号成立(8分)。证明:设123123123,,,,,,,,aaaabbbbcccc则2123221231232222222222222222222123123123(,,)(())(cos(,))(sin(,)cos(,))sin(,)cos(,)()()()aaabbbabcabccccabcabcababcabcabcababcabcaaabbbccc而且当123123123,,,,,,,,aaaabbbbcccc两两垂直时等号成立。四、解:设1111(,,)Mxyz为准线上任一点,因为绕z轴旋转,所以过1M的纬圆为22222211110xyzxyzzz由于1111(,,)Mxyz在母线上,所以又有:11101xyz由1zz,1xz,1y得22222xyz所以,当0,0时,曲面为旋转单叶双曲面;装订线装订线内不要答题学号姓名班级-3-当0,0时,曲面为圆锥面;当0,0时,曲面为圆柱面;当0时,方程为z轴。

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