东北大学秦皇岛分校2010年解析几何期末考试题(含答案),优酷有配套讲解视频

-1-东北大学秦皇岛分校课程名称：解析几何试卷：A（答案）考试形式：闭卷授课专业：信息与计算科学数学与应用数学考试日期：2011年1月4日试卷：共2页题号一二三四总分得分阅卷人一、填空（每空3分，共36分）已知1,2,1,0,1,1,ab那么(,)ab6，与,ab均垂直的单位向量为11,1,13；单位向量123,,eee满足1230eee，则122331eeeeee32；曲线223yaxbx，设ytx，参数方程为23,atattxybb；直线2111341xyz与平面32150xyz的位置关系为直线在平面内；直线11112xyz与平面230xyz的交点是（1，0，－1）；曲面22221xyz与20yz的交线关于xOy面的投影柱面为2221xy；将曲线221,(3,6)630yzx绕z轴旋转所得曲面方程为222163xyz，当3时，曲面为旋转椭球面；当36时，曲面为旋转单叶双曲面；曲面22249xzy叫做双曲抛物面，平面2x截割曲面的截线方程为212,29zyx。二、解答下列各题（每题8分，共48分）1、求以曲线240yxz为准线，母线方向为1,1,1的柱面方程。解：设1111(,,)Mxyz为准线上任一点，则过1M的母线为111111xxyyzz且有211140yxz把1110,,zyyzxxz代入2114yx，得柱面方程2()4()yzxz2、证明空间曲线2,3,xtytzt完全在曲面225xyz上。证明：把2,2,xtytzt代入曲面2210xyz得221010tt对于任意t都成立，故空间曲线完全在曲面上。3、求球心在(3,3,2)C且与平面23110xyz相切的球面方程。解：点(3,3,2)C到平面23110xyz的距离为：636111414d所以，所求球面方程为装订线装订线内不要答题学号姓名班级-2-222(3)(3)(2)14xyz即22266480xyzxyz4、列举出我们所学过的曲面中的直纹面。解：柱面，锥面，单叶双曲面，双曲抛物面。5、求以原点为顶点，准线为(,)0fxzyh的锥面方程，其中0h为常数。解：设1111(,,)Mxyz为准线上任一点，则过1M的母线为111xyzxyz且有111(,)0fxzyh（1）把11,hxhzxzyy代入（1），得(,)0hxhzfyy。6、化直线41202230xyzxyz为标准方程。解：令0z，得直线上的点为（－5，7，0）直线的方向向量为：1146,6,3212ijkv故直线的标准方程为57221xyz三、利用向量证明2123222222222123123123123123()()()aaabbbaaabbbcccccc，并说明何时等号成立（8分）。证明：设123123123,,,,,,,,aaaabbbbcccc则2123221231232222222222222222222123123123(,,)(())(cos(,))(sin(,)cos(,))sin(,)cos(,)()()()aaabbbabcabccccabcabcababcabcabcababcabcaaabbbccc而且当123123123,,,,,,,,aaaabbbbcccc两两垂直时等号成立。四、解：设1111(,,)Mxyz为准线上任一点，因为绕z轴旋转，所以过1M的纬圆为22222211110xyzxyzzz由于1111(,,)Mxyz在母线上，所以又有：11101xyz由1zz，1xz，1y得22222xyz所以，当0,0时，曲面为旋转单叶双曲面；装订线装订线内不要答题学号姓名班级-3-当0,0时，曲面为圆锥面；当0,0时，曲面为圆柱面；当0时，方程为z轴。