三线摆法测量物体的转动惯量2015

实验三线摆法测量物体的转动惯量转动惯量是刚体转动惯性大小的量度，是表征刚体特征的一个物理量。转动惯量的大小除与物体质量有关外，还与转轴的位置和质量分布（即形状、大小和密度）有关。如果刚体形状简单，且质量分布均匀，可以直接计算出它绕特定轴的转动惯量。但是工程实践中，我们常常碰到大量的形状复杂，且质量分布不均匀刚体，理论计算将极其复杂，通常采用实验方法来测定。转动惯量的测量，一般都是使刚体以一定的形式运动。通过表征这种运动特征的物理量与转动惯量之间的关系，进行转换测量。测量刚体转动惯量的方法有多种，三线摆法具有设备简单、直观、测试方便的优点。一.实验目的1.学会用三线摆测量物体的转动惯量。2.学会用积累放大法测量扭摆运动的周期。3.验证转动惯量的平行轴定理。二.实验仪器DH4601转动惯量测试仪，计时器，圆环，圆柱体，游标卡尺，米尺，水平仪三.实验原理图1是三线摆实验装置的示意图。上、下圆盘均处于水平，悬挂在横梁上。三个对称分布的等长悬线将两圆盘相连。上圆盘固定，下圆盘转动角很小，且略去空气阻力时，扭摆的运动可以近似的看作简谐运动。根据能量守恒定律和刚体的转动定律均可以导出物体绕中心轴OO’的转动惯量（推导过程见附录）：2002004THgRrmI（1-1）式中各物理量的含义如下：0m为下盘的质量r、R分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离0H为平衡时上下盘间的垂直距离0T为下盘作简谐运动的周期，g为重力加速度。将质量为m的待测圆环放在下盘上，并使待测圆环的转轴与OO’轴重合。测出此时摆运动的周期1T和上下圆盘间的垂直距离H。那么，可以求得待测圆环和下圆盘对中心转轴OO’的总转动惯量为：212014THgRrmmI)(（1-2）图1三线摆实验示意图如果不计因重量变化而引起的悬线伸长，则有0HH。那么，待测圆环绕中心轴OO’的转动惯量为：01III（1-3）因此，通过长度、质量和时间的测量，便可以求出刚体绕某轴的转动惯量。用三线摆法还可以验证平行轴定理。若质量为m的物体绕通过其质心轴AB的转动惯量为cI，当转轴平行移动距离x时（如图2），则此物体对新轴OO’的转动惯量为2mxIIc。这一结论称为转动惯量的平行轴定理。实验时将质量均为m，形状和质量分布完全相同的两个小圆柱对称地放置在下圆盘上（下圆盘有对称的两个小孔）。按上面的方法，测出两个小圆柱和下盘绕中心轴OO’的转动周期xT，求得两个小圆柱和下圆盘对中心转轴OO’的总转动惯量为：220242xTHgRrmmI)(（1-4）则进一步可以求出单个小圆柱对中心转轴OO’的转动惯量：0221IIIx（1-5）如果测量出小圆柱中心与下圆盘中心之间的距离x以及小圆柱的半径xR，则由平行轴定理可求得2221xxRmxmI（1-6）比较xI与xI的大小，可以验证平行轴定理。计时器的操作1.打开电源，程序预置的周期为T=30。要注意的是当计时开始时，显示的是挡光杆经过光电门的次数，当计数达到2T+1次时，计时停止并且显示具体时间（单位是秒）。例如，我们预置周期为50，按下执行键开始计时，但是显示的是挡光杆经过光电门的次数。当这个计数达到2×50+1=101次时计时停止，显示具体时间。2.设置周期的方法。若要设置50次，先按“置数”开锁，再按上调（或下调）改变周期T，再按“置数”锁定，此时，即可按执行键开始计时，信号灯不停闪烁，即为计时状态。当挡光杆经过光电门的次数达到设定值时，数显将显示具体时间（单位秒）。只要按“返回”即可回到上次刚执行的周期数“50”，再按“执行”键即可第二次计时。3.当断电在开机时，程序从头预置30次周期，须重复上述步走骤。四.实验内容1.用三线摆测定圆环对通过其质心且垂直于环面轴的转动惯量。(1)调节底座水平：将水平仪置于底座任意两旋钮之间，调整底座上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间。再把水平仪放到另外两旋钮之间，调整底座上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间，这时底座水平。(2)调整下盘水平：将水平仪置于下盘任意两悬线之间，调整上盘上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间。再把水平仪放到另外两悬线之间，调整上盘上的三个旋钮，使水平仪的气泡在中间，这时下盘水平。(3)用游标卡尺测出上下圆盘三悬点之间的距离a和b，然后算出悬点到中心的距离r和R。由等边三角形关系算出r和R，即3,3bRar（1-7）(4)用米尺测出两圆盘之间的垂直距离H。(5)测量空盘绕中心轴OO’转动的运动周期0T：轻轻转动上盘（上盘有小转动杆），带动下盘转动，这样可以避免三线摆在做扭动时发生晃动。注意扭摆的转角控制在5°以内。用积累放大法测出扭摆运动的周期（测量摆动30次所需的时间）。(6)测量待测圆环与下盘共同转动的周期1T：将待测圆环置于下圆盘上，注意使两者中心重合，按上面的方法测出它们一起扭摆运动的周期1T。2.用三线摆验证平行轴定理。(1)用游标卡尺测出放置两小圆柱体小孔间距2x。(2)测出两个小圆柱体（对称放置）与下盘共同转动的周期xT。五.实验数据及其数据处理要求下盘质量0m待测圆环质量m圆柱体质量mg表1：有关长度测量的记录表两圆盘之间的垂直距离H(cm)上盘悬孔间距a(cm)下盘悬孔间距b(cm)小圆柱体直径2xR（cm）小圆柱体半径xR（cm）放置小圆柱体两孔间的距离2x(cm)小圆柱体质心轴到中心转轴OO’的距离x(cm)表2：累积法测周期的数据记录表摆动30次所需时间（s）下盘下盘加圆环下盘加两圆柱111222333444555求和求和求和平均平均平均周期（s）0T=1T=xT=1.根据公式（1-7）计算出r和R。2.根据公式（1-5）计算出待测圆环绕中心轴OO’的转动惯量I。3.根据公式（1-5）计算出单个小圆柱对中心转轴OO’的转动惯量的测量值xI。hb1b2oo1c1ao2ABc4.由公式（1-6）计算出xI，与xI比较，验证平行轴定理。六.思考题1.用三线摆测量刚体转动惯量时，为什么必须保持下盘水平？2.在测量过程中如果下盘出现晃动对周期的测量有影响吗？如有影响，应该如何避免？3.三线摆放上待测物后，其摆动周期足否一定比空盘的转动周期大？为什么？4.测量圆环的转动惯量时，若圆环的转轴与下盘转轴不重合，对实验结果有何影响？5.如何利用三摆线测定任意形状的物体绕某轴的转动惯量？6.三线摆在摆动种受空气阻尼，振幅越来越小，它的周期足否会变化?对测量结果影响大吗？为什么？附录公式（1-1）的推导：如图所示，设R和r分别表示系绳点到B盘中心和A盘中心的距离，l表示悬线的长度，H表示上下盘之间的垂直距离，由几何关系得到：acacacacacach12211)()(,因为222112121)()()()(rRlcbabac22222222)()()()(cblcbabac利用余弦定理得cos2)(2222RrrRcb其中，φ表示∠co1b2。所以有，)cos2()(2222RrrRlac根据以上各式，可以得到h的表达式：acacRracacRrh1212sin22)cos1(2，因为悬线长度l很长，B盘的偏转角φ很小，故上式中的Hacac1，那么HRrh2sin22又因为22sin，所以HRrh22上式两边同时对t求倒数，有：HdtRrddtdh不计摩擦力，系统机械能守恒，即constvmIghm202002121而dtdhvdtd,所以constdtdhmdtdIghm20200)(21)(21因为圆盘的转动能量远比其上下运动的平动能大，所以将平动能略去后上式写为：constdtdIghm200)(21上式两边对t求导，得)(0022HIgRrmdtd那么有，B圆盘简谐振动的角频率00HIgRrm因为简谐振动的周期20T，由以上两个式子就可以求出：2002004THgRrmI