东南大学信号与系统试题含答案

1东南大学考试卷（A、B卷）（答案附后）课程名称信号与线性系统考试学期03-04-3得分适用专业四系，十一系考试形式闭卷考试时间长度120分钟一、简单计算题（每题8分）：1、已知某连续信号()ft的傅里叶变换为21()23Fjj，按照取样间隔1T对其进行取样得到离散时间序列()fk，序列()fk的Z变换。2、求序列10()1,2,1kfk和2()1cos()2fkkk的卷积和。3、已知某双边序列的Z变换为21()1092Fzzz，求该序列的时域表达式()fk。24、已知某连续系统的特征多项式为：269111063)(234567ssssssssD试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个？5、已知某连续时间系统的系统函数为：3232642()21sssHssss。试给出该系统的状态方程。6、求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。1z1z2-0.3)(ke)(kr-0.23二、（12分）已知系统框图如图（a），输入信号e(t)的时域波形如图（b），子系统h(t)的冲激响应波形如图(c)所示，信号()ft的频谱为()jnnFje。e(t)图(a)h(t)y(t))(tfe(t)244t图(b)h(t)t图(c)011试：1）分别画出)(tf的频谱图和时域波形；2）求输出响应y(t)并画出时域波形。3）子系统h(t)是否是物理可实现的？为什么？请叙述理由；4三（12分）、已知电路如下图所示，激励信号为)()(tte，在t=0和t=1时测得系统的输出为1)0(y，5.0)1(ey。分别求系统的零输入响应、零状态响应、全响应、以及自然响应和受迫响应。e(t)L=2HC=1FR1=2R2=1+y(t)_四(12分)、已知某离散系统的差分方程为)1()()1(3)2(2kekykyky其初始状态为6)2(,2)1(ziziyy，激励)()(kke；5求：1）零输入响应)(kyzi、零状态响应)(kyzs及全响应)(ky；2）指出其中的自由响应分量和受迫响应分量；3）判断该系统的稳定性。五（12分）、已知某离散时间系统的单位函数响应()cos()2khkk。1）求其系统函数()Hz；2）粗略绘出该系统的幅频特性；3）画出该系统的框图。6六、（10分）请叙述并证明z变换的卷积定理。7答案1、已知某连续信号()ft的傅里叶变换为21()23Fjj，按照取样间隔1T对其进行取样得到离散时间序列()fk，序列()fk的Z变换。解法一：f(t)的拉普拉斯变换为2111)2)(1(1321)(2sssssssF，2111)(Re)(ezzezzezzKezzsFszFniTsissnisTii解法二：f(t)=L1{F(jw)}=(ete2t)(t)f(k)=(eke2k)(k)=)())()((21keekkF(z)=Z[f(k)]=21ezzezz2、求序列10()1,2,1kfk和2()1cos()2fkkk的卷积和。解：f1(k)={1,2,1}=(k)+2(k1)+(k2)f1(k)*f2(k)=f2(k)+2f2(k1)+f2(k2)3、已知某双边序列的Z变换为21()1092Fzzz，求该序列的时域表达式()fk。解：5.014.01)(zzzF，两个单阶极点为0.4、0.5当收敛域为|z|0.5时，f(k)=((0.4)k1(0.5)k1)(k1)当收敛域为0.4|z|0.5时，f(k)=(0.4)k1(k1)+(0.5)k1(k)当收敛域为|z|0.4时，f(k)=(0.4)k1(k)+(0.5)k1(k)点评：此题应对收敛域分别讨论，很多学生只写出第一步答案，即只考虑单边序列。4、已知某连续系统的特征多项式为：269111063)(234567ssssssssD试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个？解构作罗斯-霍维茨阵列611617s291036s03168385s2314s342(00)32sss此时出现全零行，有辅助多项式34646,4,6ss求导可得以代替全零行系数。8210322232sss由罗斯-霍维茨数列可见，元素符号并不改变，说明s右半平面无极点。再由42320ss令2sx则有2320xx可解得1,2x相应地有1,21sj3,42sj2这说明该系统的系统函数在虚轴上有四个单极点分别为土j及土j2，系统为临界稳定。所以系统含有三个负实部的根、四个零实部的根，无正实部的根。点评：此题得分率很低。很多学生对全零行不知如何处理。5、已知某连续时间系统的系统函数为：3232642()21sssHssss。试给出该系统的状态方程。解：系统的微分方程为)(2)(4)(6)()()()(2)(tetetetetytytyty取原来的辅助变量q及其各阶导数为状态变量并分别表示为1xq、2'xq、3''xq、''''3xq，于是，由此微分方程立即可以写出如下方程状态方程：)(2'''32133221texxxxxxxx输出方程：)(436423213213texxxxxxxy或者写成矩阵形式，上式即为exxxxxx100211010100'''321321BeAx``)(431321texxxyDeCx6、求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。91z1z2-0.3)(ke)(kr-0.2解：06.05.03.22.01)3.021()(2zzzzzzH二、（12分）已知系统框图如图（a），输入信号e(t)的时域波形如图（b），子系统h(t)的冲激响应波形如图(c)所示，信号()ft的频谱为()jnnFje。e(t)图(a)h(t)y(t))(tfe(t)244t图(b)h(t)t图(c)011试：1）分别画出)(tf的频谱图和时域波形；2）求输出响应y(t)并画出时域波形。3）子系统h(t)是否是物理可实现的？为什么？请叙述理由；解：1）根据傅立叶变换的性质得：nnttf)2()(2-4-24tf(t)(1)10nnjF)()(wF(jw)22）y(t)=[e(t)f(t)]h(t)=[(t+2)+2(t)+(t2)]h(t)=h(t+2)+2h(t)+h(t2)2-212-13ty(t)3）因h(t)是有始因果信号，所以子系统h(t)是物理可实现的。点评：此题做对的非常少，大多数写不出f(t)的表达方式。三（12分）、已知电路如下图所示，激励信号为)()(tte，在t=0和t=1时测得系统的输出为1)0(y，5.0)1(ey。分别求系统的零输入响应、零状态响应、全响应、以及自然响应和受迫响应。e(t)L=2HC=1FR1=2R2=1+y(t)_解：1）电路满足KVL：得)(5.0)(5.0)(5.1)(tetytyty2）系统函数为：5.05.15.0)(2ssssH，特征根为1=0.5，2=1Yzs(s)=H(s)E(s)=ssss15.05.15.02=115.01ss零状态响应：yzs(t)=(e0.5tet)(t)yzs(0)=0，yzs(1)=(e0.5e1)；yzi(0)=y(0)yzs(0)=1，yzi(1)=y(1)yzs(1)=e1；11yzi(t)=(C1e0.5t+C2et)(t),得C1=0，C2=1零输入响应：yzi(t)=et(t)；全响应：y(t)=e0.5t(t)点评：此题中很多学生把全响应初始条件当成零输入响应的初始值来解答，失去少部分分数。四(12分)、已知某离散系统的差分方程为)1()()1(3)2(2kekykyky其初始状态为6)2(,2)1(ziziyy，激励)()(kke；求：1）零输入响应)(kyzi、零状态响应)(kyzs及全响应)(ky；2）指出其中的自由响应分量和受迫响应分量；3）判断该系统的稳定性。解：132)(2zzzzH，特征根为1=0.5，2=11）yzi(k)=(C10.5k+C2)(k)；代入初始条件得C1=2，C2=2零输入响应：yzi(k)=(220.5k)(k)Yzs(z)=H(z)E(z)=22)1(15.01132zzzzzzzzzzz=115.01ss零状态响应：yzs(k)=(0.5k+k1)(k)yzs(0)=0，yzs(1)=(e0.5e1)；全响应：y(k)=(1+k0.5k)(k)2）自由响应：(10.5k)(k)受迫响应：k(k)，严格地说是混合响应。3）系统的特征根为1=0.5（单位圆内），2=1（单位圆上），所2系统临界稳定。五（12分）、已知某离散时间系统的单位函数响应()cos()2khkk。4）求其系统函数()Hz；5）粗略绘出该系统的幅频特性；6）画出该系统的框图。解：1）系统函数为：12121)(21)(21)(2)()2cos(22222222zzezzezzkeZkeZkeeZkkZjjkjkjkjkj1)(22zzzH2）系统的幅频特性为：|cos2|1|1)()(||)(|22jjjeeeHw|H(ejw)|22230.53）系统的框图1z1z-1E(z)Y(z)六、（10分）请叙述并证明Z变换的卷积定理。解：卷积定理设)()(11zFkfZ,)()(22zFkfZ，则)()()(*)(2121zFzFkfkfZ或用符号表示为：若)()(11zFkf，)()(22zFkf，则)()()(*)(2121zFzFkfkf两序列卷积后z变换的收敛区是原来两个Z变换收敛区的重叠部分。以上定理可根据卷积和及Z变换的定义证明如下kjkjjkfjfzjkfjfZkfkfZ)()()()()(*)(212121交换上式右方的取和次序，上式成为jkkjkfzjfkfkfZ)()()(*)(2121对上式右方第二个取和式应用式(8—15)的移序特性，则得)()()()()(*)(212121zFzFzFzjfkfkfZjj