三角函数导学案

第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数考试要求1.任意角的概念，弧度制的概念，弧度与角度的互化，A级要求；2.任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，B级要求．知识梳理1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝π180rad；②1rad＝180π°弧长公式弧长l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cosαyx叫做α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－续表三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线诊断自测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角．(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×)(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.(×)(4)若α∈0，π2，则tanα＞α＞sinα.(√)(5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(×)2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是________(填序号)．①2kπ＋45°(k∈Z)；②k·360°＋94π(k∈Z)；③k·360°－315°(k∈Z)；④kπ＋5π4(k∈Z)．解析与9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋9π4(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有③正确．答案③3．(苏教版必修4P15T6改编)若tanα＞0，sinα＜0，则α在第________象限．解析由tanα＞0，得α在第一或第三象限，又sinα＜0，得α在第三或第四象限或终边在y轴的负半轴上，故α在第三象限．答案三4．(2014·大纲全国卷改编)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝________.解析由三角函数的定义知cosα＝－4－42＋32＝－45.答案－455．一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为______弧度．答案π3考点一象限角与三角函数值的符号【例1】(1)若角α是第二象限角，则α2是第________象限角．(2)若sinα·tanα＜0，且cosαtanα＜0，则角α是第________象限角．深度思考象限角的判定有两种方法，请你阅读规律方法，其中角α2的判断结论为：解析(1)∵α是第二象限角，∴π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．(2)由sinα·tanα＜0可知sinα，tanα异号，从而α为第二或第三象限的角，由cosαtanα＜0，可知cosα，tanα异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．答案(1)一或三(2)三规律方法(1)已知θ所在的象限，求θn或nθ(n∈N*)所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式(含有k)表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到θn或nθ(n∈N*)所在的象限．(2)象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．(3)由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解．【训练1】(1)设θ是第三象限角，且cosθ2＝－cosθ2，则θ2是第________象限角．(2)sin2·cos3·tan4的值________0(填“大于、小于”)．解析(1)由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵cosθ2＝－cosθ2，∴cosθ2≤0，综上知θ2为第二象限角．(2)∵sin2＞0，cos3＜0，tan4＞0，∴sin2·cos3·tan4＜0.答案(1)二(2)小于考点二三角函数的定义【例2】已知角θ的终边经过点P(－3，m)(m≠0)且sinθ＝24m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值．解由题意得，r＝3＋m2，∴sinθ＝m3＋m2＝24m.∵m≠0，∴m＝±5.故角θ是第二或第三象限角．当m＝5时，r＝22，点P的坐标为(－3，5)，∴cosθ＝xr＝－322＝－64，tanθ＝yx＝5－3＝－153.当m＝－5时，r＝22，点P的坐标为(－3，－5)．∴cosθ＝xr＝－322＝－64，tanθ＝yx＝－5－3＝153.综上可知，cosθ＝－64，tanθ＝－153或cosθ＝－64，tanθ＝153.规律方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．【训练2】已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．解∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，则x＝4t，y＝－3t，r＝x2＋y2＝4t2＋－3t2＝5|t|，当t0时，r＝5t，sinα＝yr＝－3t5t＝－35，cosα＝xr＝4t5t＝45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34；当t0时，r＝－5t，sinα＝yr＝－3t－5t＝35，cosα＝xr＝4t－5t＝－45，tanα＝yx＝－3t4t＝－34.综上可知，sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34或sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34.考点三扇形弧长、面积公式的应用【例3】已知一扇形的圆心角为α(α0)，所在圆的半径为R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则α＝60°＝π3，R＝10，l＝π3×10＝10π3(cm)，S弓＝S扇－S△＝12×10π3×10－12×102×sinπ3＝503π－5032＝50π3－32(cm2)．(2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝C2＋α，∴S扇＝12α·R2＝12α·C2＋α2＝C22α·14＋4α＋α2＝C22·14＋α＋4α≤C216.当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C216.规律方法涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l＝|α|R，S＝12|α|R2＝12lR.【训练3】已知扇形的周长为4cm，当它的半径为______cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________cm2.解析设扇形圆心角为α，半径为r，则2r＋|α|r＝4，∴|α|＝4r－2.∴S扇形＝12|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时|α|＝2.答案121微型专题三角函数线的应用三角函数线是三角函数的几何特征，具有重要的意义，考生在平时的备考中总认为它是概念性内容，事实并不然，其应用十分广泛，除了用来比较三角函数值的大小，解三角不等式外，还是数形结合的有效工具，借助它不但可以准确画出三角函数图象，还可以讨论三角函数的性质．【例4】函数y＝lg(2sinx－1)＋1－2cosx的定义域为________．点拨依据题意列出不等式组，通过画图作出三角函数线，找到边界角，从而求出各不等式的取值范围，最后求交集即可．解析要使原函数有意义，必须有：2sinx－1＞0，1－2cosx≥0，即sinx＞12，cosx≤12.如图，在单位圆中作出相应三角函数线，由图可知，原函数的定义域为2kπ＋π3，2kπ＋5π6(k∈Z)．答案2kπ＋π3，2kπ＋5π6(k∈Z)点评利用单位圆求解函数定义域问题时，应熟练掌握0到2π范围内的特殊角的三角函数值，注意边界角的取舍，一定要与相应三角函数的周期结合起来，这也是本题的难点所在．[思想方法]1．任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．如有可能则取终边与单位圆的交点．其中|OP|＝r一定是正值．2．三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．3．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．[易错防范]1．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·新课标全国Ⅰ卷改编)若tanα＞0，则sinαcosα＝________0(填“＞、＜、≥、≤”)．解析由tanα＞0可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sinα与cosα同号，故sinαcosα＞0.答案＞2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________．解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝α·r，∴α＝3.答案33．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析由α是第二象限的角可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则180°－(180°＋k·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k·360°)，即－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°(k∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案一4．若α是第三象限角，给出下列式子：①sinα＋cosα＜0；②tanα－sinα＜0；③cosα－tanα＜0；④tanαsinα＜0.其中成立的是________(填序号)．解析α是第三象限角，sinα＜0，cosα＜0，tanα＞0，则①、③、④均成立，②不成立．答案①③④5．已知点Psin3π4，cos3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．解析由sin3π4＞0，cos3π4＜0知角θ是第四象限的角，∵tanθ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.答案7π46．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；⑤若cosθ0，则θ是第二或第三象限的角．其中正确命题的个数是________．解析由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sinπ6＝sin5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cosθ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．答案17．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ＝