三角函数恒等变换练习题及答案详解

———————————————————————————————————————————————————两角和与差的正弦、余弦、正切1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换；2.利用三角变换讨论三角函数的图象和性质2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2.灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键．知识点回顾1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(Cα－β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(Cα＋β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(Sα－β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(Sα＋β)tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ(Tα－β)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ(Tα＋β)2．二倍角公式sin2α＝cossin2；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝2tanα1－tan2α.3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如Tα±β可变形为tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)，tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtanα＋β＝tanα－tanβtanα－β－1.4．函数f(α)＝acosα＋bsinα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)或f(α)＝a2＋b2cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．[难点正本疑点清源]三角变换中的“三变”(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．热身训练1．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝－15，则tanαtanβ的值为_______．———————————————————————————————————————————————————2．函数f(x)＝2sinx(sinx＋cosx)的单调增区间为______________________．3．(2012·江苏)设α为锐角，若cos6＝45，则4．(2012·江西)若sinα＋cosαsinα－cosα＝12，则tan2α等于()A．－34B.34C．－43D.435．(2011·辽宁)设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ等于()A．－79B．－19C.19D.79典例分析题型一三角函数式的化简、求值问题例1(1)化简：1tanα2－tanα2·1＋tanα·tanα2；(2)求值：[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°.在△ABC中，已知三个内角A，B，C成等差数列，则tanA2＋tanC2＋3tanA2tanC2的值为________．题型二三角函数的给角求值与给值求角问题例2(1)已知0βπ2απ，且cos2＝－19，sin2＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．———————————————————————————————————————————————————已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2，求β.题型三三角变换的简单应用例3已知f(x)＝xtan11sin2x－2sin4x·sin4x(1)若tanα＝2，求f(α)的值；(2)若x∈π12，π2，求f(x)的取值范围．———————————————————————————————————————————————————已知函数f(x)＝3sin62x＋2sin212x(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值时x的集合．利用三角变换研究三角函数的性质典例：(12分)(2011·北京)已知函数f(x)＝4cosx·sin6x－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间4,6上的最大值和最小值．———————————————————————————————————————————————————总结方法与技巧1．巧用公式变形：和差角公式变形：tanx±tany＝tan(x±y)·(1∓tanxtany)；倍角公式变形：降幂公式cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；配方变形：1±sinα＝sinα2±cosα22,1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2.2．利用辅助角公式求最值、单调区间、周期．由y＝asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中tanφ＝ba)有a2＋b2≥|y|.3．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．4．已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化．5．熟悉三角公式的整体结构，灵活变换．本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形．失误与防范1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的．3．在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．———————————————————————————————————————————————————过手训练(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1．(2012·山东)若θ∈2,4，sin2θ＝378，则sinθ等于()A.35B.45C.74D.342．已知tan(α＋β)＝25，tan4＝14，那么tan4等于()A.1318B.1322C.322D.163．当－π2≤x≤π2时，函数f(x)＝sinx＋3cosx的()A．最大值是1，最小值是－1B．最大值是1，最小值是－12C．最大值是2，最小值是－2D．最大值是2，最小值是－1二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知锐角α满足cos2α＝cos4，则sin2α＝________.5．已知cos4＝1213，α∈4,0，则cos2αsinπ4＋α＝________.6．设x∈2,0，则函数y＝2sin2x＋1sin2x的最小值为________．三、解答题7．(13分)(2012·广东)已知函数f(x)＝2cos6x(其中ω0，x∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈0，π2，f5α＋53π＝－65，f5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值．课后习题(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)———————————————————————————————————————————————————1．(2012·江西)若tanθ＋1tanθ＝4，则sin2θ等于()A.15B.14C.13D.122．(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝33，则cos2α等于()A．－53B．－59C.59D.533．已知α，β都是锐角，若sinα＝55，sinβ＝1010，则α＋β等于()A.π4B.3π4C.π4和3π4D．－π4和－3π44．(2011·福建)若α∈2,0，且sin2α＋cos2α＝14，则tanα的值等于()A.22B.33C.2D.3二、填空题(每小题5分，共15分)5．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值为________．6.3tan12°－34cos212°－2sin12°＝________.7．sinα＝35，cosβ＝35，其中α，β∈2,0，则α＋β＝____________.三、解答题(共22分)8．(10分)已知1＋sinα1－sinα－1－sinα1＋sinα＝－2tanα，试确定使等式成立的α的取值集合．9．(12分)已知α∈，2，且sinα2＋cosα2＝62.(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈，2，求cosβ的值．