三角函数恒等变换解答题

第1页（共16页）三角函数恒等变换解答题一．填空题（共9小题）1．（2016春•南京期中）cos75°=．2．（2015•四川）sin15°+sin75°的值是．3．（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为．4．（2016春•上饶校级期中）已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）=．5．（2016•黄浦区一模）函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T=．6．（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，最小值是．7．（2015•普陀区二模）函数的最小正周期为．8．（2012•温州一模）函数的最小正周期为．9．（2015春•福州校级期末）已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ），，且函数f（x）是偶函数，则θ的值为．二．解答题（共12小题）10．（2016春•兰州校级期中）已知tanα=2（1）求的值；（2）求2sin2α﹣sinαcosα+cos2α的值．11．（2015秋•张家界期末）已知，．（1）求tanα的值；（2）求的值．12．（2015春•商丘期中）已知，．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）求的值．13．（2014•祁东县一模）已知函数．第2页（共16页）（1）求的值；（2）设的值．14．（2014•甘肃二模）已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）已知f（a）=3，且α∈（0，），求α的值．15．（2014•惠州模拟）已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx，x∈R（1）求f（）的值；（2）若sina=，且a∈（，π），求f（+）．16．（2014•西城区二模）已知函数f（x）=cosx（sinx﹣cosx）+1（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[﹣，0]时，求函数f（x）的最大值和最小值．17．（2013•雁塔区校级一模）已知函数为偶函数，且α∈[0，π]（1）求α的值；（2）若x为三角形ABC的一个内角，求满足f（x）=1的x的值．18．（2012•宝安区校级模拟）已知函数f（x）=ωx+2sinωx•cosωx+ωx，其中ω＞0，且f（x）的最小正周期为π．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）利用五点法作出f（x）在[﹣，]上的图象．19．（2011秋•九原区校级期中）已知函数f（x）=2asin2x+2sinxcosx﹣a的图象过点（0，﹣）．（1）求常数a；（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．20．（2011春•长沙校级期末）已知函数f（x）=2asinx•cosx+2cos2x+1，，（1）求实数a的值；第3页（共16页）（2）求函数f（x）在的值域．21．（2011秋•保定校级期末）已知α为第三象限角，．（1）化简f（α）；（2）若，求f（α）的值．第4页（共16页）三角函数恒等变换解答题参考答案与试题解析一．填空题（共9小题）1．（2016春•南京期中）cos75°=．【分析】将所求式子中的角75°变形为45°+30°，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值．【解答】解：cos75°=cos（45°+30°）=cos45°cos30°﹣sin45°sin30°=×﹣×=．故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．2．（2015•四川）sin15°+sin75°的值是．【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．【解答】解：sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=（sin15°cos45°+cos15°sin45°）=sin60°=．故答案为：．【点评】本题考查两角和的正弦函数，三角函数的化简求值，考查计算能力．3．（2015•江苏）已知tanα=﹣2，tan（α+β）=，则tanβ的值为3．【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可．【解答】解：tanα=﹣2，tan（α+β）=，可知tan（α+β）==，即=，解得tanβ=3．故答案为：3．【点评】本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查．第5页（共16页）4．（2016春•上饶校级期中）已知tan（）=，tan（）=﹣，则tan（）=1．【分析】观察三个函数中的角，发现=﹣（），故tan（）的值可以用正切的差角公式求值【解答】解：∵=﹣（），∴tan（）===1故答案为1【点评】本题考查两角和与差的正切函数，解题的关键是观察出=﹣（），即利用角的变换把要求三角函数值的角用另两个已知三角函数值的角的线性组合表示出来，再利用差角公式求出tan（）的值，先进行角的变换，探究三角函数之间的关系，是此类求三角函数值的题常用的入手策略，要善于用此技巧．本题对观察推理能力要求较高，题后应好好总结规律．5．（2016•黄浦区一模）函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T=π．【分析】先利用二倍角的余弦化简，再求出函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期．【解答】解：y=cos2x﹣sin2x=cos2x，∴函数y=cos2x﹣sin2x的最小正周期T==π．故答案为：π．【点评】本题考查二倍角的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题．6．（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，最小值是．【分析】由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin（2x﹣）+，由正弦函数的图象和性质即可求得最小正周期，最小值．【解答】解：∵f（x）=sin2x+sinxcosx+1=+sin2x+1=sin（2x﹣）+．∴最小正周期T=，最小值为：．第6页（共16页）故答案为：π，．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．7．（2015•普陀区二模）函数的最小正周期为π．【分析】利用倍角公式和正弦函数的周期公式即可得出．【解答】解：函数==﹣sin2x，∴．故答案为π．【点评】熟练掌握倍角公式和正弦函数的周期公式是解题的关键．8．（2012•温州一模）函数的最小正周期为π．【分析】先利用正弦函数的差角公式进行化简，然后利用二倍角公式和辅助角公式将其化成f（x）=Asin（ωx+φ）+B，最后根据周期公式解之即可．【解答】解：=sinx（sinxcos﹣cosxsin）=sin2x﹣sinxcosx=﹣sin2x=﹣（sin2x+cos2x）+=﹣sin（2x+）+T==π故答案为：π【点评】本题主要考查了三角函数的周期，解题的关键是二倍角公式和辅助角公式的应用，属于中档题．9．（2015春•福州校级期末）已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ），，且函数f（x）是偶函数，则θ的值为．【分析】首先对函数关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的奇偶性求出结果．【解答】解：f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）第7页（共16页）=2（）=当（k∈Z）即：由于：所以：当k=0时，θ=故答案为：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数奇偶性的应用．属于基础题型．二．解答题（共12小题）10．（2016春•兰州校级期中）已知tanα=2（1）求的值；（2）求2sin2α﹣sinαcosα+cos2α的值．【分析】把所要求的式子得分母添项并作代换：1=sin2α+cos2α，然后分子、分母同时除以cos2α，把已知代入可求【解答】解：∵tanα=2（1）=（2）=【点评】本题主要考查了同角平方关系sin2θ+cos2θ=1在三角化简中变换的技巧：若已知三角函数的正切值，求有关正余弦的二次三角函数值，常在原式上添1，并作代换1=sin2θ+cos2θ，然后分子、分母同除以cos2θ，从而化为”切“11．（2015秋•张家界期末）已知，．（1）求tanα的值；第8页（共16页）（2）求的值．【分析】（1）由角的范围及同角三角函数基本关系式的应用可求cosα的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值．（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求，利用（1）的结论即可计算求值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵，∴，…（3分）∴；…（6分）（2）原式==，…（9分）=…（12分）【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．12．（2015春•商丘期中）已知，．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）求的值．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可得，结合角的范围可得sinα＜0，即可计算求解．（Ⅱ）利用诱导公式化简所求，即可计算求值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴…（2分）∵，∴sinα＜0，∴．…（6分）（Ⅱ）原式==．…（12分）第9页（共16页）【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．13．（2014•祁东县一模）已知函数．（1）求的值；（2）设的值．【分析】（1）把代入f（x）即可得出；（2）把，3β+2π分别代入f（x）化简整理再利用平方关系，再利用两角和的余弦公式、倍角公式即可得出．【解答】解：（1）==．（2）==2sinα=，∴．∵，∴．==，解得．∵，∴．∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ==．∵，∴，∴＞0，∴==．【点评】本题综合考查了三角函数的平方关系、两角和的余弦公式、倍角公式等基础知识与基本方法，属于基础题．14．（2014•甘肃二模）已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）已知f（a）=3，且α∈（0，），求α的值．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简整理求得函数解析式，利用三角函数的性质求得其最小正周期T和单调增区间．（Ⅱ）利用f（a）=3求得sin（2a+）的值，进而求得a．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x+2sinxcosx+3cos2x，=sin2x+2﹣+1第10页（共16页）=sin2x+cos2x+2=2sin（2x+）+2．所以最小正周期为：T==π当﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），即﹣+kπ≤x≤+kπ（k∈Z）时函数单调增，∴函数f（x）的单调增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）．（Ⅱ）∵f（x）=2sin（2x+）+2，∴f（α）=2sin（2α+）+2=3，∴sin（2α+）=，∵，∴2α+∈（，），∴2α+=，∴α=．【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用，三角函数的图象和性质．要充分利用好三角函数的图象，利用数形结合的思想来解决三角函数的相关问题．15．（2014•惠州模拟）已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx，x∈R（1）求f（）的值；（2）若sina=，且a∈（，π），求f（+）．【分析】（1）把x=代入函数，利用特殊角的三角函数值即可求解；（2）利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据sinα的值求出cosα，代入f（）进行化简．【解答】解：（1）f（）=cos2+sin=（）2+（2）f（x）=cos2x+sinxcosx第11页（共16页）===∴f（）===∵sinα=，且α∈（，π）∴cosα=﹣f（）==【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．16．（2014•西城区二模）已知函数f（x）=cosx（sinx﹣cosx）+1（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[﹣，0]时，求函数f（x）的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）对函数解析式进行化简，求得关于正弦函数的解析式，利用正弦函数的性质求得最小正周期T．（Ⅱ）根据x的范围，求得2x﹣的范围，利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的最大和最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sinxcosx﹣cos2x+1=sin2x﹣+1=si