三角函数题型分类(上课用)

一．三角函数中常用的变换。1)常数1的变换。1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°例：已知2tan，求22cos2cos.sinsin的值.练习：求函数xxxxxxf2sin2cossincossin)(2244的最小正周期，最大值和最小值。分析：由所给的式子xxxx2244cossincossin可联想到222)cos(sin1xx。解：xxxxxxf2sin2cossincossin)(2244)cossin1(2cossin122xxxx212sin41x。2）关于)2sin(cossincossin或与的关系的推广应用：由于cossin21cossin2cossin)cos(sin222故知道)cos(sin，必可推出)2sin(cossin或，例如：例：已知33cossin,33cossin求。分析：由于)coscossin)(sincos(sincossin2233]cossin3)cos)[(sincos(sin2其中，cossin已知，只要求出cossin即可，此题是典型的知sin-cos，求sincos的题型。解：∵cossin21)cos(sin2故：31cossin31)33(cossin212]cossin3)cos)[(sincos(sincossin2333943133]313)33[(332练习：1．已知51cossinxx，且x0．a)求sinx、cosx、tanx的值．b)求sin3x–cos3x的值2.已知,24,81cossin且则sincos.3）函数名称的变换三角函数变换的目的在于“消除差异，化异为同”。而题目中经常出现不同名的三角函数，这就需要将异名的三角函数化为同名的三角函数。变换的依据是同角三角函数关系式或诱导公式。如把正(余)切、正(余)割化为正、余弦，或化为正切、余切、正割、余割等等。常见的就是切割化弦。例、已知ktan12sinsin22)24(，试用k表示cossin的值。分析：将已知条件“切化弦”转化为cos,sin的等式。解：由已知kcossin2cossin1)cos(sinsin2tan12sinsin22；24cossincossink1cossin21)cos(sin24)角的变换。常见角的变换方式有：)(；)()(2；)(2；22例：已知1),tan()tan(nn，求证：112sin2sinnn。分析：在条件中的角和与求证结论中的角2,2是有联系的，可以考虑配凑角。解：)()(2，)()(2，)]()sin[()]()sin[(2sin2sin)sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()sin()tan()tan()tan()tan(11)tan()tan()tan()tan(nnnn二．关于正弦，余弦的齐次式例：1.已知sin2cos5,tan3sin5cos那么的值为（）A．－2B．2C．2316D．－23162.已知tan2x，则3sin22cos2cos23sin2xxxx的值为3.已知2tanx，（1）求xx22cos41sin32的值新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（2）求xxxx22coscossinsin2的值新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆4新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆已知2tanx，求xxxxsincossincos的值新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆5.已知2tan，求（1）sincossincos；（2）22cos2cos.sinsin的值.说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。三．求最值1.xbxacossin可化为)sin(22xba，这里辅助角所在的象限由ba,的符号确定，角的值由abtan确定。例：已知函数xxy21cos321sin，求：（1）函数y的最大值，最小值及最小正周期；（2）函数y的单调递增区间练习：1.求7cos30sin202sin6cos52xxxxy的最大值与最小值。分析：求三角函数的最值问题的方法：一是将三角函数化为同名函数，借助三角函数的有界性求出；二是若不能化为同名，则应考虑引入辅助角。解：3cos30sin20)sin4cossin12cos9(22xxxxxxy3)cos3sin2(10)sin2cos3(2xxxx22)5sin2cos3(2xx22)5cos3sin2(2xx22]5)sin(13[2x其中，23tan，当1)sin(x时，13101622)513(2maxy；当1)sin(x时，13101622)513(2miny。注：在求三角函数的最值时，经常引入辅助角，然后利用三角函数的有界性求解2.求函数cos223sincosfxxxx的最值。2.消元法求最值如果所要证明或要求解的式子中不含已知条件中的某些变量，可以使用消元法消去此变量，然后再求解。例：求函数xxycos2sin2的最值。解：原函数可变形为：yxyx22cossin，即2122)sin(yyx，1|)sin(|x11222yy解得：374maxy，374miny。3.变量替换法求最值。（1）sin(,,0)sincyaxabcbx，令sinxt，则转化为cyatbt(11)t的最值，一般可用图像。（2）形如2sinsinyaxbxc或2cossinyaxbxc的函数求最值是都可以通过适当变换，通过配方法来求解。（3）形如sincosxx，sincosxx在关系式中是，可以考虑换元法处理，如令sincostxx，则21sincos2txx。把三角问题化归为代数问题解决例：求sincossincosyxxxx最值。四．化简与证明]sin)a2[sin(21)cosasin(aa)4(2a)sin4tan(21a2cos2）a4(2cosa)-4cos(a)-42sin(1a2cos2a)-4cos(a)42sin(1a2cos21a2cosa2coscos2a1-a2cos2.sinasin)cos(a2sina)a2sin(sina＝得：步骤：1.（从角入手，化复交为单角）2.（从名入手，化异名为同名）3.（从从幂入手，降幂处理）4.（从行入手，配方法）例：1.化简22221sinsincoscoscos2cos222.已知函数2()23sincos2cos1()fxxxxxR。（1）求函数()fx的最小正周期及在区间[0,]2上的最大值和最小值；（2）若06()5fx，0[,]42x，求0cos2x的值。3.4cos22sin2等于（）A.2sinB.2cosC.2cos3D.2cos34.化简4cos224sin12的结果是5.可化简为（）A.sin)a2sin(B.)a2sin(C.sinD.06.化简原式＝＝=两边同除以sinasin)cos(a2sina)a2sin(7．求证：.证明∵)sinacos(a2)a2sin(=)sinacos(a2a])sin[(a＝)sinacos(a2)sinacos(a)cosasin(a＝)sinacos(a)cosasin(a＝a]-)sin[(a＝.sin练习：讨论函数coscos)cos(2cos)22cos(21)(2xxxxf的值域、周期性、奇偶性及单调性解：coscos)cos(2cos]1)(cos2[21)(22xxxxf=22coscoscos)cos(221)(cosxxx=21cos]coscos2))[cos(cos(2xxx=21cos]coscossin)[sincos(2xxx=2cos21)]cos()[cos(xxx2cos21∴)(xf的值域为]21,21[，周期为π，是偶函数，当)](2,[Zkkkx时)(xf是增函数，当)](,2[Zkkkx时)(xf是减函数。五．两角和与差得正余弦及正切的应用1.8sin15sin7cos8sin15cos7sin的值为_____.26.答案：2－3解析：8cos15cos8cos15sin8sin15sin)815cos(8sin15cos)815sin(8sin15sin7cos8sin15cos7sin3230sin30cos115tan.评述：本题重点考查两角差的三角公式、积化和差公式、半角公式等多个知识点.2.tan20°+tan40°+3tan20°·tan40°的值是_____.27.答案：3解析：tan60°=40tan20tan140tan20tan，∴tan20°+tan40°=3－3tan20°tan40°，∴tan20°+tan40°+3tan20°tan40°=3.六．三角函数与解三角形综合的题1.在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形3.答案：C解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，∴sin（A－B）＝0，∴A＝B2.在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cos3cosCacBb，(1)求sinB的值；(2)若42b，且a=c，求ABC的面积。解：(1)由正弦定理及cos3cosCacBb，有cos3sinsincossinCACBB，即sincos3sincossincosBCABCB，所以sin()3sincosBCAB，又因为ABCπ，sin(