三轮复习--矩阵行列式

三轮复习---矩阵、行列式1．矩阵：由nm个数ija（mi,,3,2,1；nj,,3,2,1）按顺序排成的m行、n列矩形数表叫做矩阵，记为：mnmmmijnnaaaaaaaaaaaaaA32122322211131211，简记为：nmijaA，读做：矩阵A.2．元素：矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，记为ija。3．单位矩阵：主对角线上元素均为1，其余元素均为0的方矩阵，叫做单位矩阵，记为I。例如：2阶单位矩阵：1001；3阶单位矩阵：100010001。4．负矩阵：将矩阵nmijaA中每一个元素ija变为其相反数ija，所得的矩阵称为矩阵A的负矩阵，记为：nmijaA。5．零矩阵：所有的元素都为0的矩阵，称为零矩阵。6．相等矩阵：若两个矩阵是同类型，即nmijaA，nmijbB，当且仅当它们对应位置的元素都相等，即ijijba时，则称这两个矩阵相等，记做：BA。7．矩阵的和（差）：两个同类型矩阵nmijaA、nmijbB对应位置上的元素相加（减），设ijijijcab，所得到的矩阵nmijcC称为矩阵A、B的和，记做：CAB。注：矩阵相等、矩阵加减运算，前提条件是两矩阵的行数与列数相同。矩阵加法运算律：①交换律：ABBA②结合律：()()ABCABC；8．数与矩阵相乘：设k为任意实数，将矩阵nmijaA的所有元素都与相乘得到的矩阵11121312122232123nnijmmmmnkakakakakakakakakakakakaka叫做矩阵A与实数k的乘积矩阵，记作：nmijaA。注：实数与矩阵的乘法运算律：如果A、B是两个同类矩阵，m、n是任意实数，那么：①实数关于矩阵加法的分配律：()mABmAmB；②矩阵关于实数加法的分配律：()mnAmAnA；③实数关于实数与矩阵乘法的结合律：()()mnAmnA；9．矩阵的乘积：当且仅当矩阵nmijaA的列数n与矩阵qpijbB的行数p相等时，定义矩阵qmijcC的任意一个元素pjinjijijiijbabababac332211，则称矩阵C是矩阵A与矩阵B的乘积，记作：ABC。注：两个矩阵进行乘法运算，必须是左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数，其核心为：“左行乘右列”。矩阵变换:要“左乘”变换矩阵①两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵；②若0AB，一般不能推出0A或者0B；③若ACAB，即使A是非零矩阵，也不一定有CB；④矩阵乘法不满足交换律，即AB与BA一般不相等。行列式1．二阶行列式：2211baba，其展开式为：1221baba。2．设二元一次方程组：222111cybxacybxa，其中1a、2a、1b、2b是未知数x、y的系数，且不全为零，1c、2c是常数项，设2211babaD，2211bcbcDx，2211cacaDy，则方程组可整理为：yxDyDDxDⅰ、当0D时，方程组有唯一解：DDDDyx,；ⅱ、当0D，且xD、yD不全为零时，方程组无解；ⅲ、当0yxDDD时，方程组有无穷多组解。注意：利用三阶行列式解线性方程组时：0D方程组有唯一解；0D方程组有无穷解或无解（只需知道即可）．．．．．．．．．．．．．．3．把九个数排成三行三列的方阵称为三阶行列式，记做：333231232221131211aaaaaaaaa，按行列展开为：211233113223312213231231133221332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa。①余子式：把三阶行列式中某元素ija所在的行和列划去后所得的二阶行列式叫做该元素ija的余子式，记做：ijM（本质：还是行列式）。②代数余子式：把某元素ija的余子式ijM添上相应的符号ji1，得到ijjiM1，叫做该元素ija的代数余子式。例如：23a的余子式为：3231121123aaaaM；代数余子式为3231121123321aaaaM；③三阶行列式可以按任意一行展开成该行元素与其对应的代数余子式的乘积之和；三阶行列式可以按任意一列展开成该列元素与其对应的代数余子式的乘积之和；例如：323122211333312321123332232211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa；232113113233311311223331232112333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa；4．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为11,yx、22,yx、33,yx，则ABC的面积公式11223311121ABCxySxyxy。