东莞市2009届高三文科数学模拟试题(一)

东莞市2009届高三文科数学模拟试题(一)命题人：东华高级中学赵金国2009.3.10一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．在复平面内，复数i1对应的点与原点的距离是（）A.lB．2C．2D．222．设p是椭圆2212516xy上的点．若12FF，是椭圆的两个焦点，则12PFPF等于（）A．4B．5C．8D．103.函数2()ln(1)fxxx的零点所在的大致区间是（）A．(0,1)B．(1,2)C．)3,2(D．(3,4)4.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示，时速在[50,60)的汽车大约有A.30辆B.40辆C.60辆D.80辆5．下列命题中，真命题是（）A．,sincos1.5xRxxB．(0,),xsincosxxC．2,1xRxxD．(0,)x，1xex6．某师傅需用胶合板制作一个工作台，工作台由主体和附属两部分组成，主体部分全封闭，附属部分是为了防止工件滑出台面而设置的三面护墙，其大致形状的三视图如右图所示(单位长度：cm)，则按图中尺寸，做成的工作台用去的胶合板的面积为(制作过程合板损耗和合板厚度忽略不计)（）A．40000cm2B．40800cm2c．1600(22+417)cm2D．41600cm27.已知函数f（x）的导函数)('xf的图像如左图所示，那么函数f（x）的图像最有可能的是右图中的（）0.040.030.020.01频率组距时速80706050408．函数10axxayx的图象的大致形状是（）ABCD9.若l为一条直线,,,为三个互不重合的平面,给出下面三个命题:①,②,∥③l∥l,.其中正确的命题有（）A.0个B.1个C.2个D.3个10．已知函数cbxxxf2)(，其中40,40cb.记函数)(xf满足条件：(2)12(2)4ff为事件为A，则事件A发生的概率为A．14B．58C．12D．38二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共20分）11．右图是一程序框图，则其输出结果为．12．已知)(xf是以2为周期的函数，且当)1,0(x时，12)(xxf，则)6(log2f的值为.13．设向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”：ba是一个向量，它的模sin||||||baba.若)3,1(),1,3(ba，则||ba.14.(坐标系与参数方程选做题）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为(1，－5)，点M的极坐标为)2,4(．若直线L过点P，且倾斜角为3，圆C以M为圆心、4为半径.则直线L的参数方程是,圆C的极坐标方程是.15.(几何证明选讲选做题)如图，⊙O的直径cmAB6，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若30CPA，PC．oxyo1-1oxyo1-1ooxyo1-1ooxyo1-1oo三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共80分）16.（本小题满分12分）在ABC△中，已知2AC，3BC，4cos5A．学科网（1）求sinB的值；学科网（2）求sin26B的值．学科网17.（本小题满分14分）如图，四边形ABCD为矩形，BC平面ABE，F为CE上的点，且BF平面ACE.(1)求证：BEAE；(2)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：//MN平面DAE．18.（本小题满分14分）某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（13)0mkxm满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2009年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．⑴将2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；⑵该厂家2009年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？19.（本小题满分14分）已知函数2()axfxxe，其中0a，e为自然对数的底数．⑴讨论函数()fx的单调性；⑵求函数()fx在区间0,1上的最大值．20．（本小题满分14分）设椭圆222:1(0)2xyCaa的左右焦点分别为1F、2F，A是椭圆C上的一点，且2120AFFF，坐标原点O到直线1AF的距离为113OF．（1）求椭圆C的方程；（2）设Q是椭圆C上的一点，过点Q的直线l交x轴于点(1,0)F，交y轴于点M，若QFMQ2，求直线l的斜率．21．（本题满分12分）我们用部分自然数构造如下的数表：用个数行第表示第jijiaij)(（i、ABCDEFM第17题Nj为正整数），使iaaiiij；每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和（第一、二行除外，如图），设第n（n为正整数）行中各数之和为b．（1）试写出nnbbbbbbbbbb和并推测145342312,2,2,2,2的关系（无需证明）；（2）证明数列}2{nb是等比数列，并求数列}{nb的通项公式nb；（3）数列}{nb中是否存在不同的三项),,(,,为正整数rqpbbbrqp恰好成等差数列？若存在求出p，q，r的关系；若不存在，请说明理由．东莞市2009届高三文科数学模拟试题(一)参考答案一、选择题：BDBCDDADCC二、填空题：11.51112.2113.214.112352xtyt，8sin15.33三、解答题：16.解：（1）由4cos5A可得53sinA（----------2分）所以由正弦定理可得sinB=52（----------5分）（2）由已知可知A为钝角，故得521cosB（----------7分）从而2517sin212cos,25214cossin22sin2BBBBB，（-------10分）所以5017712cos21sin23)62sin(BBB（----------12分）17.（1）证明：因为ABEBC平面，ABEAE平面，1223434774511141156162525166所以BCAE，…………………………………2分又ACEBF平面，ACEAE平面，所以BFAE，……………………………4分又BFBCB，所以BCEAE平面……………6分又BCEBE平面，所以BEAE．………………………8分（2）取DE的中点P，连接PNPA,，因为点N为线段CE的中点．所以PN||DC，且DCPN21，………………………………10分又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，所以AM||DC，且DCAM21，所以PN||AM，且AMPN，故四边形AMNP是平行四边形，所以MN||AP………………………12分而AP平面DAE，MN平面DAE，所以MN∥平面DAE．………14分18.解：（1）由题意可知当,123,231),(1,0mxkkxm万件时……3分每件产品的销售价格为)(1685.1元xx……………………………4分∴2009年的利润mmmxmxxxxy)123(8484)168(]1685.1[)0(29)]1(116[mmm…………………7分（2）8162)1(116,0mmm时，……………………………11分21,)(31116,21298maxymmmy时万元当且仅当（万元）13分答：（略）……………………………………………………………………14分19.解:(1).)2()(axeaxxxf…………………………………………………2分（i）当0a时，令)(xf=0,得0x.若0x,则)(xf0,从而()fx在(0,)上单调递增；若0x,则)(xf0,从而()fx在(,0)上单调递减.…………………4分()ii当0a时,令()0fx,得(2)0xax,故0x或.2ax若0x,则()0fx,从而()fx在(,0)上单调递减.若20xa则()0fx.从而()fx在2(0,)a上单调递增;若2xa则()0fx.从而()fx在2(,)a上单调递减.…………7分(2)()i当0a时,()fx在区间0,1上的最大值是(1)1f.…………………10分()ii当20a时,()fx在区间0,1上的最大值是(1)afe.…………12分)(iii当2a时,()fx在区间0,1上的最大值是224)2(eaaf……14分20.解：（Ⅰ）由题设知2212(2,0),(2,0),2FaFaa其中由于2120AFFF，则有212AFFF，所以点A的坐标为22(2,)aa……..2分故1AF所在直线方程为21()2xyaaa…………3分所以坐标原点O到直线1AF的距离为2221aa，又212OFa，所以22221213aaa，解得：2a.………….5分所求椭圆的方程为22142xy.…………7分（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线斜率为k，则直线l的方程为(1)ykx，则有(0,)Mk.……9分设11(,)Qxy，由于Q、F、M三点共线，且2MQQF.根据题意得1111(,)2(1,)xykxy,解得112xyk或11233xky.…………12分又Q在椭圆C上，故22(2)()142k或222()()33142k，解得0,4kk,综上，直线l的斜率为0或4…………14分21．（本题满分12分）（1）1234514102246bbbbb；，；；；；可见：2122bb；3222bb；4322bb；5422bb，…………2分猜测：122nnbb（或122nnbb或1132nnnbb）…………4分（2）由（1）1222nnbb，…………6分所以{2}nb是以123b为首项，2为公比的等比数列，∴1232nnb，即1322nnb(注：若考虑122nnbb，且不讨论1n，扣1分)…………8分（3）若数列{}nb中存在不同的三项*()pqrbbbpqrN，，、、恰好成等差数列，不妨设pqr，显然，{}nb是递增数列，则2qprbbb…………9分即1112(322)(322)(322)qpr，于是2221qrpr…………10分由*pqrN、、且pqr知，12qrpr，，∴等式的左边为偶数，右边为奇数，不成立，故数列{}nb中不存在不同的三项*()pqrbbbpqrN，，、、恰好成等差数列.…………12分