两个最短时间问题的分析

1对两个时间问题的分析——最佳屋顶与等时圆【摘要】：用数学方法分别讨论了最佳屋顶问题和等时圆问题的解，并将两个问题放在一起进行分析，找到两个问题间的联系。【关键词】：等时圆，最佳屋顶，最短时间，极值问题【正文】1.最佳屋顶问题如图1所示，求从不同位置由静止运动至水平面的最短时间以及时间最短时轨道与水平方向的夹角，其中所有初位置与末位置间的水平距离相等，忽略摩擦的影响。析：设底边为x，轨道与水平方向所成的角为，则位移为cosx，加速度为sing。由运动学公式可知2sin21costgx解得sin4cossin2gxgxt由上式可知，当4时，t有极小值，gxt4min。实际应用中，若想使雨点以最短的时间滑下屋顶，则需将其设计成与水平方向成4的角，如图2所示。若考虑摩擦，则问题更具有实际意义。图1xθ图245452sin14cos2sin4cos2sin4coscossin2cossincos2222gxgxgxgxgxt其中，21sin，211cos当22时，即24时，有时间的最小值，2min14gxt。可见，在考虑摩擦的情况下，屋顶与水平面所成的角应大于4。2．等时圆如图3所示，质点从圆周上一点M沿光滑轨道ML运动到圆的最低点L所用时间为多少？析：如图3所示，H为圆的最高点，连结LH，为圆的直径，连结HM，则角HML为直角。设轨道ML与水平面所成的角为，由角LHM也为。设圆的半径为R则，质点的加速度为sing，从M到L的位移为sin2R。从而时间gRgRt4sinsin22可见，结果是一个与角无关的量，它说明了不管从圆周上哪一个点沿光滑轨道运动至最低点M的时间都相等。称为等时圆。3．最佳屋顶与等时圆的关系H图3LMθθ3将图1和等时圆放在一起，如图4所示。由图可知，由C到L过程的起点和终点都在圆上，此时有4，而对于其它情况，不管是4还是4，起点都在圆外，因此时间将大于从C到A的时间。由上面的分析可知，当4时，有时间t的最小值。2012年12月16日星期日整理rongnal图4OxθLABCD