两个齐次线性方程组的解集的关系的讨论

两个齐次线性方程组的解集的关系的讨论1.基本理论定理1：齐次线性方程组Ax=0的解一定是方程组BAx=0的解。定理2：设A是实矩阵，则齐次线性方程组Ax=0与0AXAT同解。证明：显然齐次线性方程组0AX的解都是0AXAT的解。反过来：设是0AXAT的解，即0AAT，从而0AATT既0)()(AAT，A是列向量，令naaaA21，那么0)()(22221nTaaaAA，每个元素都是实数，所以021naaa，即0A定理3：设齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解，则r(A)=r(B)推论：设A是实矩阵，则A与AAT的秩相等。定理4：齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件是A,B的行向量组等价..证明：必要性:设齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解,Ax=0与0XBA同解事实上显然0XBA的解都是Ax=0的解,反过来,由于Ax=0的解也满足Bx=0,从而也是0XBA的解,所以)()(BArAr,B行向量可由A的行向量(的极大无关组)线性表示,反之,A行向量可由B的行向量线性表示,所以,A,B的行向量组等价.充分性:若A,B的行向量组等价,则B的行向量可以写成A的行向量的线性组合,所以方程组Bx=0中的每一个方程,都是Ax=0中的方程的线性组合,所以,方程组Ax=0的解都是Bx=0的解。反过来方程组Bx=0的解都是Ax=0的解,所以：方程组Ax=0与Bx=0同解２.应用举例例１：设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为nm矩阵，现有4个命题：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)；②若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的是(A)①②.(B)①③.(C)②④.(D)③④.分析：本题也可找反例用排除法进行分析，但①n-秩(A)=n-秩(B),②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③与④，迅速排除不正确的选项.解：若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n-秩(B),即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)，则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如0001A，1000B，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).评论：若Ax=0的解均是Bx=0的解，Ax=0的解集是Bx=0的解集的子集则，n－秩(A)n－秩(B)，秩(A)秩(B)，①成立．例２：已知齐次线性方程组（i）,0,0532,032321321321axxxxxxxxx和（ii）,0)1(2,03221321xcxbxcxbxx同解，求a,b,c的值.分析：方程组（ii）显然有无穷多解，于是方程组（i）也有无穷多解，从而可确定a，这样先求出（i）的通解，再代入方程组（ii）确定b,c即可.解：方程组（ii）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii）有无穷多解.因为方程组（i）与（ii）同解，所以方程组（i）的系数矩阵的秩小于3.对方程组（i）的系数矩阵施以初等行变换20011010111532321aa，从而a=2.此时，方程组（i）的系数矩阵可化为000110101211532321，故T)1,1,1(是方程组（i）的一个基础解系.将1,1,1321xxx代入方程组（ii）可得2,1cb或.1,0cb当2,1cb时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有110101312211，显然此时方程组（i）与（ii）同解.当1,0cb时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有000101202101，显然此时方程组（i）与（ii）的解不相同.综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组（i）与（ii）同解.【评注】本题求a也可利用行列式0211532321aa，得a=2.本题也可这样考虑：方程组0)1(2,0,0,0532,0323221321321321321xcxbxcxbxxaxxxxxxxxx必存在无穷多解，化系数矩阵为阶梯形，可确定a=2,b=0,c=1或a=2,b=1,c=2，再对两组数据进行讨论即可.例３：设4元齐次方程组(Ⅰ)004221xxxx,又知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为)1,2,2,1()0,1,1,0(21kk(1)求齐次方程组(Ⅰ)的基础解系(2)线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,求出所有非零公共解,若没有,请说明理由.(1)不难求的齐次方程组(Ⅰ)的基础解系为1011,0100(2)设10110100122101104321kkkk解方程组的，,,21243kkkkk所有非零公共解11112k例5已知线性方程组(Ⅰ)00022,221122,222212122,1212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa的一个基础解系是Tnbbb),,,(2,11211，Tnbbb),,,(2,22221，…,Tnnnnbbb),,,(2,21试写出线性方程组(Ⅱ)的通解(Ⅱ)00022,221122,222212122,1212111nnnnnnnnnxbxbxbxbxbxbxbxbxb解：两个齐次方程组都含有n2个未知量，Tnbbb),,,(2,11211，Tnbbb),,,(2,22221，…,Tnnnnbbb),,,(2,21是方程组(Ⅰ)的基础解系，所以,),,,(2,11211TnaaaTnaaa),,,(2,22221…Tnnnnaaa),,,(2,21线性无关，且是方程组(Ⅱ)的解．Tnbbb),,,(2,11211，Tnbbb),,,(2,22221，…,Tnnnnbbb),,,(2,21线性无关，方程组(Ⅱ)的系数矩阵的秩是n，所以,),,,(2,11211TnaaaTnaaa),,,(2,22221…Tnnnnaaa),,,(2,21是方程组(Ⅱ)的基础解系．方程组(Ⅱ)的通解为TnaaakX),,,(2,112111Tnaaak),,,(2,222212…Tnnnnnaaak),,,(2,21