上海交通大学概率统计课件72点估计的评价标准

§7.2点估计的评价标准对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题应该选用哪一种估计量?用何标准来评价一个估计量的好坏?常用标准(1)无偏性(3)一致性(2)有效性§7.2)ˆ(E若则称ˆ是的无偏估计量.无偏性无偏定义我们不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值都相等，但可以要求这些估计值的期望与真值相等.定义的合理性),,,(21nXXX是样本,证明:不论X服从什么分布(但期望存在),是k的无偏估计量.证nikinikikXEnXnEAE11)(1)1()(例1设总体X的k阶矩)(kkXE存在,因而niXEkki,,2,1)(由于kknn1例1nikikXnA11则特别地样本二阶原点矩niiXnA1221是总体是总体期望E(X)的X样本均值无偏估计量的无偏)(22XE二阶原点矩估计量例2设总体X的期望与方差存在,X的),,,(21nXXX样本为(n1).(1)不是D(X)的无偏估量;niinXXnS122)(1(2)是D(X)的无偏估计量.niiXXnS122)(11证212121)(1XXnXXnniinii前已证证明2)()(,)()(XDXDXEXEiinXDXEXE2)(,)()(例2)()(1)(121212XEXEnXXnEniinii因而)()(2222n221nn212)(11niiXXnE故证毕.例3设),,,(21mXXX是总体X的一个样本,X~B(n,p)n1,求p2的无偏估计量.解由于样本矩是总体矩的无偏估计量以及数学期望的线性性质,只要将未知参数表示成总体矩的线性函数,然后用样本矩作为总体矩的估计量,这样得到的未知参数的估计量即为无偏估计量.npXEX)(令)1()()(12212pnpnpXEXmmii例3XXmnnpmii122211因此,p2的无偏估计量为)1()1(11nnXXmmiii故XXmpnnmii12221)(例4设总体X的密度函数为00,01);(xxexfx0为常数),,,(21nXXX为X的一个样本证明X与},,,min{21nXXXn都是的无偏估计量证)(1~XEEX故)()(XEXE是的无偏估计量.X例4},,,min{21nXXXZ令000)(zenzzfnzZ即nZEnEZ)(~0100zeznz)(nZE故nZ是的无偏估计量.)()()(121zXPzXPzXPnniizXP1))(1(1),,,(1)(21zXzXzXPzFnZ),,,(ˆ2111nXXX都是总体参数的无偏估计量,且)ˆ()ˆ(21DD则称比更有效.1ˆ2ˆ定义设有效性),,,(ˆ2122nXXX有效所以,X比},,,min{21nXXXn更有效.是的无偏估计量,问哪个估计量更有效？X},,,min{21nXXXn由例4可知,与都00,01);(xxexfx0为常数例5设总体X的密度函数为221}),,,min{(nXXXnDnXD2)(解，例5例6设总体X，且E(X)=,D(X)=2),,,(21nXXX为总体X的一个样本证明iniiXc11ˆ是的无偏估计量(2)证明Xˆ比iniiXc11ˆ更有效证(1)niiiniicXEcE111)()ˆ(例6.11niic.,,2,11ninci(1)设常数(2)niiiniicXDcD122121)()ˆ(而ncnii112)ˆ(1)ˆ(12DnDniinjijiniicnccc1212212)(结论算术均值比加权均值更有效.njijiniiniicccc1122121例如X~N(,2),(X1,X2)是一样本.2132122112121ˆ4341ˆ3132ˆXXXXXX都是的无偏估计量由例6(2)知3ˆ最有效.罗—克拉美（Rao–Cramer）不等式若ˆ是参数的无偏估计量,则)(),(ln1)ˆ(02DXpnED其中p(x,)是总体X的概率分布或密度函数，称为方差的下界.)(0D)()ˆ(0DD当时,称为达到方差下界的无偏估计量,此时称为最有效的估计量,简称有效估计量.ˆˆ例7设总体X的密度函数为00,01);(xxexfx),,,(21nxxx为X的一个样本值.求的极大似然估计量,并判断它是否达到方差下界的无偏估计量.0为常数解由似然函数niixneL11)(niixnL1ln)(ln例721)(lnddniixnL0令xxnnii11ˆ的极大似然估计量为XXnnii11ˆ它是的无偏估计量.nXnDDnii21)1()ˆ(而xxfln),(ln故是达到方差下界的无偏估计量.X2221),(lnxxf2221),(lnXEXfE21nXfnE22),(ln1)(XD0)ˆ(limPn定义设是总体参数),,,(ˆˆ21nXXX则称ˆ是总体参数的一致(或相合)估计量.的估计量.若对于任意的,当n时,一致性ˆ依概率收敛于,即,0一致性估计量仅在样本容量n足够大时,才显示其优越性.一致关于一致性的两个常用结论1.样本k阶矩是总体k阶矩的一致性估计量.是的一致估计量.ˆ由大数定律证明用切贝雪夫不等式证明矩法得到的估计量一般为一致估计量在一定条件下,极大似然估计具有一致性2.设是的无偏估计量,且,则0)ˆ(limDnˆ例800,01);(~xxexfXx0为常数则是的无偏、有效、一致估计量.X证由例7知是的无偏、有效估计量.X)(limXDn0lim2nn所以是的一致估计量,证毕.X例8作业习题七1215162021习题补充题设总体X~N(,2),),,,(21nXXX为X的一个样本,常数k取何值可使niiXXk1||为的无偏估计量niiniiXXEkXXkE11||||解注意到XXi是X1,X2,…,Xn的线性函数,niiXXnXXnXX)1(121,0)(XXEi21)(nnXXDi补充题补充题设总体X~N(,2),),,,(21nXXX为X的一个样本,常数k取何值可使niiXXk1||为的无偏估计量21,0~nnNXXidzennzXXEnnzi2212121|||)(|dzennznnz221201212nn122niiniiXXEkXXkE11||||故nnkn122令)1(2nnk