两条直线垂直的条件

题目两条直线垂直的条件年级高中一年级上课地点微格教室课型新授课教具三角板教学方法讲解法：“自主探索——合作交流——问题解决”教学目标1、知识与技能：（1）通过对两条直线垂直的公式推导，进一步理解直线方程的概念，熟练掌握两条直线垂直的判定公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；（2）掌握两条直线垂直的充要条件，根据两条直线垂直的位置关系求出（或表示出）相关直线的斜率。2、过程与方法：（1）在两条直线相交、平行与重合的位置关系的知识基础上，通过观察、猜想和师生讨论得出两条直线垂直的条件；（2）通过体验、经历用斜率研究两条直线位置关系的过程与方法，通过两条直线斜率之间的关系，解释几何含义，即初步体会数形结合的思想。3、情感态度与价值观：（1）通过对知识的自主探索、归纳，提高学习兴趣，树立信心，培养坚强的意志品质和锲而不舍的学习精神；（2）感受坐标法对沟通代数与几何、数与形之间联系的重要作用，培养学生数形结合思想，渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点。重点两条直线垂直的斜率判定公式难点两条直线垂直的判定公式的推导项目具体内容备注教学过程复习提问：首先请同学们回想一下前面所学习的两条直线的位置关系有哪些？判断这些位置关系的条件是什么呢？已知两条直线：L1:A1x+B1y+C1=0，斜率为k1，L2:A2x+B2y+C2=0，斜率为k2。两条直线位置关系＼直线方程一般方程斜率两条直线平行A1B2-A2B1=0且B1C2-C1B2≠0（A2C1-A1C2≠0）或21AA=21BB≠21CC(A2B2C2≠0)k1=k2且b1≠b2两条直线重合A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2（λ≠0）或21AA=21BB=21CC(A2B2C2≠0)k1=k2且b1=b2两条直线相交A1B2-A2B1≠0或21AA≠21BB(A2B2≠0)----------请同学回答问题，然后将表格贴在黑板上展示，加深巩固复习内容。引入新课上节课我们已经通过直线方程判断两条直线相交、平行与重合的条件，在现实生活中黑板的两条边所在的两条直线就是一种相交的位置关系，但是是一种两边夹角为90°的特殊情况，即两条直线垂直，所以本节课我们将进一步讨论通过直线方程判断两条直线垂直的条件。教学过程讲授新课一、公式推导：提问：已知两条直线方程，也就是说在每条直线上都有一点满足直线方程，并且存在一个已知的直角，那么我们能想到什么特殊的图形呢？看看能不能通过这种特殊图形的性质推导出我们判断两条直线垂直的公式呢？给大家几分钟的时间分组讨论，思考一下，谁能说说怎么证明两条直线垂直的条件呢？已知两条直线：L1:A1x+B1y+C1=0，L2:A2x+B2y+C2=0，由于直线L1与直线L1’:A1x+B1y=0平行或重合，直线L2与直线L2’:A2x+B2y=0平行或重合，因此我们研究L1和L2垂直条件时，可转化为研究直线L1’和L2’垂直的条件。108642-2-4-15-10-551015L2L1L2L1①假定L1，L2都不与坐标轴平行或重合：当L1⊥L2时，通过坐标原点作直线L1’∥L1和L2’∥L2，则L1’和L2’互相垂直。在直线L1’，L2’上分别取两点A（x1,y1）、B（x2,y2）(不含原点)。由勾股定理，得x12+y12+x22+y22=(x1-x2)2+(y1-y2)2化简，有x1x2+y1y2=0，由假定可知B1≠0，B2≠0,因此y1==-11BAx1，y2=-22BAx2，代入上式，得先找同学说说自己证明的思路，最后老师给出正确证明过程。教师应该提醒学生注意分类讨论的思想。教学过程讲授新课x1x2(1+11BA22BA)=0.因为A，B都不在y轴上，所以x1x2≠0，因此1+11BA22BA=0，（*）即A1A2+B1B2=0（**）由于上面推导的每一步都是可逆的，因此，由(**)式可以证明两条直线L1’与L2’垂直。从而也就证明了L1与L2垂直。②假定L1，L2中有一条直线与坐标轴平行或重合：当L1⊥L2时，可以推出L1，L2中的另外一条也与坐标轴平行或重合，因此同样有A1A2+B1B2=0，反过来，由条件A1A2+B1B2=0也可以推出L1⊥L2。总结以上结论，我们得到，对坐标平面内的任意两条直线L1和L2，有L1⊥L2A1A2+B1B2=0③如果B1B20，则L1的斜率k1=-11BA，L2的斜率k2=-22BA，又可以得出：L1⊥L2k1k2=-1。注意：如果斜率不存在时，我们要判断另一条直线是否与x轴平行，或者直接根据L1⊥L2A1A2+B1B2=0判断。总结：根据坐标法证明体现了一种数形结合的思想，也是本章主要研究的一种重要方法。重点强调斜率不存在时如何判断。教学过程巩固新课二、计算步骤提问：根据以上老师的证明，谁能总结一下判断判断两条直线是否互相垂直的计算步骤？回答：（1）给A1、B1、C1，A2、B2、C2（k1,k2赋值；（2）计算M=A1A2+B1B2(k1k2);（3）若M=0(-1)，则L1⊥L2；若M0(-1)，则L1与L2不垂直。提问：根据计算步骤判断下面五组直线中哪组的两条直线是垂直的，看谁做的又快有准？例题：判断两条直线是否垂直：①2x-4y-7=0与2x+y-5=0；（是）②y=3x+1与y=-31x+5；（是）③y=x与2x+2y-7=0；（是）④x+4y-5=0与4x-3y-5=0（否）⑤x=3与y=2。（是）例题：求通过下列各点且与已知直线垂直的直线方程：（1）点（-1,3），直线方程y=2x-3；（2）点(1,2),直线方程2x+y-10=0。分析：①通过两条直线垂直的判定公式求出所求直线的斜率②通过直线斜率写出直线的待定系数的点斜式方程③通过已知点求出方程解：（1）设所求直线方程为y=-21x+b。因为直线过点（-1,3），代入方程，得b=25，所以所求直线方程为y=-21x+25,即x+2y-5=0。（2）设所求直线方程为x+2y+C=0。因为直线过点（1,2），代入方程，得C=3，所以所求直线方程为x-2y+3=0。教师给学生适当时间计算，然后找同学说出判断结果。老师分析讲解之后，根据已经给出的计算步骤，找两名同学共同上黑板演示，比较分析。教学过程小结1、掌握证明两条直线垂直的条件的方法，体会数形结的思想；2、能够根据判断两条直线垂直条件的计算步骤，准确断两条是否垂直，或者根据两条直线垂直的条件求解直线方程；3、掌握例题中用待定系数法求解，体会数形结合的思想，掌握判断条件的逆运用。作业P93练习题A：2、根据此题类型，需要根据斜率来判断；3、写出AB、BC的直线方程，然后根据判断的条件证明；4、与例题相同。P94练习题B：1、2、根据两条直线垂直的条件写出带有参数的方程求解；3、根据判断的条件进行判断；4、首先写出直线AB的方程，然后根据例题求解直线方程。教学后记在分析斜率关系时，应该注重强调斜率存在与斜率不存在时的情况对比，总结计算步骤时，也应该讨论斜率这种情况。最后小结方面，应该加强数形结合的思想方法，以及在例题中所体现的待定系数法，让同学们在以后的学习中熟练掌握这种思想方法。关于说话速度问题还有待锻炼，一定要放慢说话速度以便同学思考。