两条直线的位置关系教案

两条直线的位置关系(小结课2课时)●考试目标主词填空1.两直线平行的充要条件.已知两直线分别为：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，则l1∥l2k1=k2且b1≠b2.2.两直线垂直的充要条件.已知两直线分别为：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2，则l1⊥l2k1·k2=-1.3.两条直线的夹角.设直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，l1到l2的角为α，l1与l2的夹角为β，则tan12121kkkk，tan12121kkkk.4.点到直线的距离.点P0(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=2200BACByAx.5.两平行线间的距离.两平行线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0(C1≠C2)之间的距离d=2221BACC6.对称问题.(1)P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为(2a-x，2b-y).(2)P(x0，y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点是22002222002222)(,22)(BABCABxyBABAACAByxAB.●题型示例点津归纳【例1】已知两直线l1：x+m2y+6=0，l2：(m-2)x+3my+2m=0，当m为何值时，l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合.【解前点津】对直线的斜率存在与否，进行讨论，转化为“斜截式”后，才能使用“充要条件”.【规范解答】当m=0时，l1：x+6=0，l2：x=0l1∥l2当m≠0时，则化为斜截式方程：l1：y=-21mx-26m，l2：y=3232xmm，①当-21m≠mm32即m≠-1，m≠3时，l1与l2相交.②当32632122mmmm，即m=-1时l1∥l2.③当32632122mmmm，即m=3时，l1与l2重合.综上所述知：①当m≠-1，m≠3且m≠0时，l1与l2相交，②当m=-1或m=0时，l1∥l2，③当m=3时，l1与l2重合.【解后归纳】判断两直线的位置关系，关键是化直线方程为“斜截式”，若y的系数含有参数，则必须分类讨论.【例2】求经过点P(2，3)且被两条平行线3x+4y-7=0及3x+4y+3=0截得的线段长为5的直线方程.【解前点津】画图可知，所求直线有两条，选择应用夹角公式，可“避免讨论”.【规范解答】|AC|=224337=2，∵|AB|=5在Rt△ABC中，求出|BC|=1，则tan∠ABC=2.设所求直线斜率为k，则kk43143=2解之：k=21或211.∴x-2y+4=0，11x-2y-16=0为所求.【解后归纳】本题利用了图形的性质，重视利用数形结合的方法，从而发现解题思路.【例3】一条光线经过点P(2，3)，射在直线l：x+y+1=0上，反射后穿过点Q(1，1).(1)(2)求这条光线从P到Q的长度.【解前点津】先求出Q关于直线l的对称点Q′的坐标，从而可确定过Q，Q′的直线方程.【规范解答】(1)设点Q′(x′，y′)为Q关于直线l的对称点，且QQ′交l于M点，∵k1=-1，∴kQQ′=1，∴QQ′所在直线方程为x-y=0.由001yxyx得M坐标为21,21，又∵M为QQ′中点，故由21)1(2121)1(21yxQ′(-2，-2).设入射线与l交点为N，且P，N，Q222232xy，即5x-4y+2=0.(2)∵l是QQ′的垂直平分线，因而：|NQ|=|NQ′|∴|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ′|=41)22()23(22，即这条光线从P到Q的长度是41.【解后归纳】无论是求曲线关于直线的对称方程，还是解答涉及对称性的问题，关键在于掌握点关于直线的对称点的求法.【例4】已知三条直线l1：2x-y+a=0(a0)，直线l2：-4x+2y+1=0和直线l3：x+y-1=0，且l1与l2的距离是5107.(1)求a(2)求l3到l1的角θ(3)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点l2的距离的21；③P点到l1的距离与P到l3的距离之比是2∶5；若能，求P点坐标；若不能，说明理由.【解前点津】求解本题用到三个公式：平行线间的距离公式，直线到直线的“到角”公式，点到直线的距离公式.【规范解答】(1)由l2：2x-y-21=0，∴l1与l2的距离d=1057)1(22122a，化简得：2721a，∵a0，∴a=3.(2)由(1)，l1：2x-y+3=0k1=2，而k3=-1，∴tanθ=)1(21)1(213131kkkk=-3，∵0≤θ≤π，∴θ=π-arctan3.(3)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②，则P点在与l1，l2平行的直线L：2x-y+c=0上，且5212153cc，即c=213或c=611.∴2x0-y0+213=0或2x0-y0+611=0.若P21525320000yxyx，即：|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，∴x0-2y0+4=0，或3x0+2=0，由P在第一象限，∴3x0+2=021304202132000000yxyxyx，舍去，由18379104206112000000yxyxyx得∴P即为同时满足三个条件的点.【解后归纳】(3)属于“存在性问题”的解答，往往从“假设存在入手”，推出某种结论(肯定的或否定的)，然后检验这种结论是否满足题设中的各条件.●对应训练分阶提升一、基础夯实1.点(0，5)到直线y=2x的距离是()A.25B.5C.23D.252.已知直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为4，那么m值为()A.-31或-3B.31或3C.31或3D.31或-33.若直线l1：y=kx+k+2与l2：y=-2x+4交点在第一象限内，则实数k的取值范围是()A.(-32，+∞)B.(-∞，2)C.(-32，2)D.(-∞，-32)∪(2，+∞)4.两条直线A1x+B1y+C1=0，及A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是()A.A1A2+B1B2=0B.A1A2=B1B2C.2121BBAA=-1D.2121BBAA=15.如果直线ax-y+2=0与直线3x-y-b=0关于直线x-y=0对称，那么，a、b值为()A.a=，31b=6B.a=31，b=-6C.a=3，b=-2D.a=3，b=66.过两直线y=-31x+310和y=3x的交点，并与原点相距为1的直线有()A.0条B.2条C.1条D.3条二、思维激活7.直线ax+4y-2=0与直线2x-5y+c=0垂直相交于点(1，m)，则a=c=m=.8.p，q满足2p-q+1=0，则直线px+2y+q=0必过定点.三、能力提高9.已知直线l与点A(3，3)和B(5，2)的距离相等，且过两直线l1：3x-y-1=0和l2：x+y-3=0的交点，求直线l的方程.10.直线l过点(1，0)，且被两平行线3x+y-6=0和3x+y+3=0所截得的线段长为9，求直线l的方程.第2课两条直线的位置关系习题解答2.B直接利用公式计算.3.Ck1=-2，k2=mtan|21|)2(4mm得：|2m-1|=|m+2|解之即得.4.C解方程组kkykkxxykkxy26422422得由232232220264022kkkkkkkk或.5.A当l1，l2分别与坐标轴垂直时，C答案不满足.6.A因直线ax-y+2=0关于直线y=x的对称直线为ay-x+2=0，故x-ay-2=0与3x-y-b=0重合，故31=a1=b2，∴a=31，b=6.7.B交点P为(1，3)，单位圆的两条切线.8.a=10，c=-12，m=-2两直线垂直，所以-524a=-1a=10，又两直线都过点(1，m)，故12205202410cmcmm.9.由2p-q+1=0直线为px+2y+(2p+1)=0(x+2)·p+(2y+1)=0，令21201202yxyx得故定点为21,2.10.解方程组：03013yxyx得交点C(1，2)当A、B两点在l的同侧时，l∥AB，而kAB=215323，故l为：y-2=-21·(x-1)，即：x+2y-5=0.当A、B两点在l异侧时，则l过线段AB中点(4，25)，由两点式知l方程为1422512xy化之x-6y+11=0.综上所述知，l的方程是：x+2y-5=0或x-6y+11=0.11.如图所示，当l的斜率不存在时，l方程为x=1它与两平行线交点为(1，3)和(1，-6)，其距为|3-(-6)|=9符合题意.当l的斜率存在时，设l：y=k(x-1)，由063)1(yxxky及033)1(yxxky，解得l36,3333,36kkkkkkkk及.故由223939kkk=92，得：k=-34故此时l：y=-34(x-1)，即4x+3y-4=0.综上所述知，l的方程为：4x+3y-4=0或x=1.