两角和与差的正弦余弦教案

颍上二中《高中数学教学与辅导中关注“个体差异”的实践研究》课题组1公开课教案时间：2014年2月28日星期五授课班级：高一（3）授课人：刘强课题两角和与差的正弦、余弦函数课时第1课时教材北师大版必修四年级学科高一数学章节第三章2.2.1-2.2.2课型新授教材分析1.两角和与差的正弦、余弦公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途径作为思维的起点，如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即α-β=α+(-β)的关系，从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β)，又如比较sin(α-β)与cos(α-β)，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的，其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系，让学生深刻领会它们的这种联系，从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯，教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导，例如在面对问题时，要注意先认真分析条件，明确要求，再思考应该联系什么公式，使用公式时要具备什么条件等.另外，还要重视思维过程的表述，不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.学情分析学生已经掌握了向量的数量积和相关的诱导公式，这就为本节课的学习提供了知识基础，而有些学生能很好的使用已有知识解决相关问题，有些学生难以联系这些知识解决问题，当学生能够恰当使用这些知识为本节课服务时，那么本节课的教学就水到渠成了。教学目的1、知识与技能：（1）能够推导两角差的余弦公式；（2）能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；（3）能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明；（4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；（5）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.（6）使不同层次学生各有收获。2、过程与方法：通过创设情境：通过向量的手段证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数，然后通过诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力.。教学重点两角和与差的正弦、余弦公式及其推导.颍上二中《高中数学教学与辅导中关注“个体差异”的实践研究》课题组2教学难点灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.教具准备多媒体课件，直尺，圆规。教学方法自主合作探究式、启发诱导式教学过程教学流程教师行为学生行为设计意图复习复习回顾三角函数的定义，向量数量积的两种计算方式及相关诱导公式（提问李雨婷、刘永倩、徐然）回答提问关注差异分层提问知识讲解我们在初中时就知道cos45°=22,cos30°=23,由此我们能否得到cos15°=cos(45°-30°)=?这里是不是等于cos45°-cos30°呢？教师可让学生验证,经过验证可知,我们的猜想是错误的.那么究竟是个什么关系呢？cos(α-β)等于什么呢？这时学生急于知道答案,由此展开新课:我们就一起来探讨“两角差的余弦公式”.思考交流引入新知知识讲解教师引导学生,可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢?如图,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角α、β(αβ),我们首先研究α、β均为锐角时的情况，设它们的终边与单位圆O的交点分别为12,pp,则1op=(cosα,sinα),2op=(cosβ,sinβ),12pop=α-β.由向量数量积的定义有1op·2op=|1op||2op|·cos(α-β)=cos(α-β),由向量数量积的坐标表示有1op·2op=(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ,于是,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.认真做好笔记体会知识的应用，讲解时注意基础好的同学有没有自己的理解，注意后进生有没有听明白颍上二中《高中数学教学与辅导中关注“个体差异”的实践研究》课题组3知识讲解我们发现,运用向量工具进行探究推导,过程相当简洁,但在向量数量积的概念中,角α-β必须符合条件0≤α-β≤π,以上结论才正确,而实际上，利用诱导公式可以证明，当α、β为任意角时，此公式仍然成立。有兴趣的同学可以在课后对此情况加以证明。cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.C(α-β)此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间的关系,称为两角差的余弦公式,简记为C(α-β).有了公式C(α-β)以后,我们只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值,就可以求得cos(α-β)的值了.（教师提问，学生思考，共同得到相关公式。）问题1：由公式C(α-β)你能推出α+β的余弦公式吗？问题2：你能由两角和与差的余弦公式，得到两角和与差的正弦公式吗？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较cos(α-β)与cos(α+β)中角的内在联系，学生有的会发现α-β中的角β可以变为角-β，所以α-(-β)=α+β〔也有的会根据加减运算关系直接把和角α+β化成差角α-(-β)的形式〕.这时教师适时引导学生转移到公式C(α-β)上来,这样就很自然地得到cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.所以有如下公式：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作C(α+β).对问题1，教师引导学生细心观察公式C(α+β)的结构特征,可知“两角和的余弦，等于这两角的余弦积减去这两角的正弦积”，同时让学生对比公式C(α-β)进行记忆，并填空：cos75°=cos(_________)==__________=___________.对问题2，上面学生推得了两角和与差的余弦公式，教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利用诱导公式⑸⑹来化余弦为正弦(也有的想到利用同角的平方和关系式sin2α+cos2α=1来互化，此法让学生课下进行),因此有sin(α+β)=cos［2-(α+β)］=cos［(2-α)-β］=cos(2-α)cosβ+sin(2-α)sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ.在上述公式中,β用-β代之，则sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为S(α+β)、S(α-β).教师恰时恰点地引导学生观察公式的结构特征并结合推导过程进行记忆，同时进一步体会本节公式的探究过程及公式变化特点，体验三角公式的这种简洁美、对称美.为强化记忆，教师可让学生填空,如sin(θ+φ)=___________，sin75sin72cos75cos72=__________.认真做好笔记思考交流回答提问形成知识体系，学生解决问题时，教师巡视加强课堂辅导对不同层次的学生给以不同的指导点拨颍上二中《高中数学教学与辅导中关注“个体差异”的实践研究》课题组4例题讲解例1不查表，求cos75°,cos15°的值.解：（略，见教材P117）例2已知sinα=45,α∈(2,π),cosβ=513,β∈(π,23).求cos(α-β),cos(α+β)的值。解：（略，见教材P117）审题进行分析培养审题能力培养分析解决问题能力当堂训练教材P118的练习1、2、3林悦做练习1（该生基础较差，此问题课堂中以有所体现）李雪，宋利分别做2、3（这两位学生基础稍好）进行限时训练培养做题的能力课堂小结1.先让学生回顾本节课的主要内容是什么？我们学习了哪些重要的解题方法？通过本节的学习，我们在运用和角与差角公式时，应注意什么？如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、等问题.2.教师画龙点睛：通过本节课的学习，要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.回忆知识要点梳理知识体系课后作业必做题：习题3-2A组3、4，选做题：习题3-2B组1（1）（2）课后练习检查情况板书设计两角和与差的正弦、余弦公式1、复习3、四个公式5、课堂练习2、两角差的余弦4、例题讲评6、归纳总结公式的推导课后反思