两角差的余弦公式教学设计

1课题：两角差的余弦公式（第一课时）说课稿运城市盐化中学景锦各位评委老师好：我说课的题目是《两角差的余弦公式》。下面阐述我对本节课的教学设计。一、教材内容分析1、介绍内容：《两角差的余弦公式》是新课标教材人教A版数学必修4第三章第一节内容，主要研究两角差的余弦公式的推导及其简单应用。2、内容分析：两角差的余弦公式是在学生学习了三角函数及平面向量的基础上引入的，同时又是《三角恒等变换》的起始课。三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点，是发展学生推理能力和运算能力的重要载体。在同角关系式的部分，学生初步学习了恒等变换。在这节对两角差的余弦公式的研究，一方面是对上述知识的应用，同时又是对它的拓展和延伸；另一方面它也为以后学习两角和的余弦，两角和与差的正弦、正切，从而进一步学习二倍角的正弦、余弦、正切等奠定良好基础。同时又有了三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，因此本节内容起到承上启下的作用。3、教学重难点：重点：通过探索得到两角差的余弦公式。难点：探索过程的组织和适当引导，两角差余弦公式的探究思路的发展。2二、教学目标解析1、能借助单位圆，运用向量的方法，推导出两角差的余弦公式。2、理解两角差的余弦公式，并能初步应用它们解决简单的三角函数求值问题。3、经历两角差的余弦公式的的推导过程，体验由简单到复杂的变换思想方法。进一步体现了向量是近代数学中重要和基本数学概念之一。4、通过探究两角差的余弦公式，培养学生逻辑推理能力，树立创新意识和应用意识，提高数学素质。三、教学问题诊断分析：两角差的余弦公式是所有恒等变换公式的核心，是最基本的公式，由它可以推导出所有其它公式。因此深刻理解两角差的余弦公式的推导是非常重要的。对两角差的余弦公式的推导，需要良好的三角函数基础，即会作三角函数线。也需一定的向量基础。这两点大部分学生已经具备。但学生正处于初中到高中的过渡阶段，代数运算和推理本身存在着先天不足，因此在第一种方法中分析如何利用几何直观得到cos的值与角，的三角函数值的关系时，学生很难想到把它们和三角函数线联系起来，为了解决这个问题我在此设计了两个过渡问题：1、如何构造角，，？2：如何做出角的余弦线，角、的正弦线、余弦线？这样通过这两个具有层次感的问题，学生的思维之门会被悄然打开，不知不觉就从解决旧知中探求到了新知。另外，在第二种方法中，要得出结3论不是太难，但需要对结论进行补充完善，此时我注意引导学生先抓主要矛盾，再去理会细枝末节，即思考的值和夹角的关系，进行补充，使之更加完善。四、教学支持条件分析：由于本节公式的推导要借助单位圆利用三角函数线作图，然后分析角的余弦值与角、的正弦，余弦值的关系，才能逐步得出结论。整个推导过程比较复杂，所以我设计了动画课件把探索过程逐步展示出来，这样就把较难的探索过程分解为简单的几步，使学生思路明确，从而达到较好的效果。五、教学过程设计第一环节：创设情境，引入新课某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上，如图所示，小山高BC约30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离约为67米，从点A观测电视发射塔的视角（CAD）约为045，求这座电视发射塔的高度。（学生思考，教师引导）设计意图4①通过引入实例，激发学生的学习兴趣。②通过创设问题情景，使学生们都能充分地动手、动口、动脑，参与教学全过程，力求把新的知识和思想纳入到学生原有的认知结构中去。③学生经历把实际问题转化为数学问题的过程，感受实际问题对研究和（差）角公式的需要。师生共同分析，认识到此问题的解决对和差角公式的需求。更一般地，当、是任意角时，能否用、的三角函数值把或的三角函数值表示出来呢？由此引入课题。第二环节：探求新知思考1：设，是任意角，你能判断coscoscos恒成立吗？〈设计意图〉统一对探究目标中恒等要求的认识，同时激发探索欲望。思考2：我们设想cos的值与、的三角函数值有一定关系，填写下表并观察数据你有什么发现？（学生计算、观察，小组讨论）00cos60300cos600cos300sin600sin30321232321200cos120600cos1200cos600sin1200sin6012121232325〈设计意图〉加强新旧知识之间的联系，培养学生的直觉观察和猜想能力。通过以上两组数据，部分学生可能猜想到两角差的余弦公式。要想说明猜想所得结论的正确性，还须进行严格的证明。问题一：怎样联系单位圆上的三角函数线来探求公式？思考1：如何构造角，，？思考2：如何用三角函数线或直角三角形的边表示cos,sin,cos,sin,cos（学生动手画图）思考3：观察所做的辅助线，寻求OM的表达式。设计意图①通过三个思考，把一个复杂的问题分解为作角、找线、找等量关系等简单的问题，即复杂问题简单化。②通过让学生亲历探索过程，培养学生分析问题，解决问题的能力。经过探索可得：当，，都是锐角，且时，有6coscoscossinsin。要说明此公式在角，为任意角时也成立，还需做不少推广工作。有兴趣的同学可以探讨一下。思考：根据coscossinsin的结构特征，你能联想到一个相关计算原理吗？（学生思考，举手回答）问题二：怎样联系向量的数量积探求公式？思考1：结合图形，明确应选择哪几个向量，它们如何表示？思考2：怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到探求结果？思考3：对于任意角，，都有上述结果吗？（学生思考，动手作图，教师引导）〈设计意图〉①让学生经历用向量知识解出一个数学问题的过程，体会向量的工具作用及应用价值。②采用提问的方式，关注学生思维的漏洞，帮助学生完善。③通过多种途径思考，培养学生的自主探究能力，对向量的坐标表示以及向量数量积运算有了进一步的理解。在平面直角坐标系xoy内作单位圆O，以ox为始边，作角，，它们的终边与单位圆的交点分别为A，B，则OA=（cos,sin），OB=（cos,sin）。OBOA=coscossinsin设OA与OB的夹角为，则OBOA=cosOBOA=coscoscoscossinsin7当0,时，当,2时，2再作一推广，2()kkz或2()kkz。综上，当，为任意角时，有coscos由此得，对于任意角，有coscoscossinsin称为差角的余弦公式。简记作C。思考：你认为公式的结构和形式有什么特点？（学生思考，举手回答）〈设计意图〉加强对公式的理解，便于学生更好地把握公式。关键词：⑴任意角⑵同名积⑶符号反（这里符号反的意思是差的余弦的“差”与余弦积与正弦积的和的“和”运算是相反的。第三环节：指导应用例1⑴利用差角余弦公式求0cos15的值.（学生独立完成）〈设计意图〉通过简单应用，使学生能逐步熟记公式，理解公式。同时让学生体验拆分的多样性。至于如何拆分，让学生在应用中仔细体会。思考：你会求0sin75的值吗？〈设计意图〉为后面变换函数种类的思考作铺垫。⑵求值：0000cos80cos20sin80sin200000cos21cos24sin21sin24〈设计意图〉通过公式正用、逆用进一步熟悉公式。例2已知45sin,,,cos,5213是第三象限角，8求cos的值.(学生作答，教师适当点评)〈设计意图〉通过应用，理解公式。思考：将条件,2改为0,又如何解呢？请谈谈你的想法。（学生思考，小组讨论，代表发言）〈设计意图〉通过改变条件，引导学生运用分类讨论的思想，对角进行讨论，从而培养学生思维的严密性和逻辑的条理性。例3已知45sin,,,cos,,52132，求cos的值.(学生思考，相互讨论，教师引导)〈设计意图〉本题相对于例2，难度有所拔高，但关键也是配角，即寻找已知条件中的角与所求角的关系，从而用已知角来表示所求角；另外也要注意角的范围。这是我们以后解题当中常见的问题。第四环节：归纳总结问题：本节课你有哪些收获？（学生回答，教师补充）〈设计意图〉在这个过程中学生可以将本节的知识系统化、条理化，对探究新知及知识应用过程中所采用的思想、方法进行反思，同时学生可以客观地评价自己，培养学生自我反思、自我发展的意识。六、目标检测设计1、0000cos175cos55sin175sin55=＿2、coscos,sinsinab，则cos＿〈设计意图〉检测学生对公式是否可以熟练应用、灵活应用。9布置作业：课本127页练习1，2，3，4习题3.1A组2，3，4，5〈设计意图〉作业是进一步落实教学目标的手段，及时反馈，才能不断进步。本节课的教学设计，我通过引入事例，激发学生的学习兴趣。把复杂的推导过程以问题形式呈现，问题设计上循序渐进，符合学生的认知规律，贴近学生实际知识水平。在整个学习过程中学生经历不断猜想，不断否定，不断修正，从特殊到一般的思维过程，体会了归纳，数形结合，化归与转化等重要数学思想。使学习过程变成火热的思考过程。研究数学题像是在寻求“空谷中的幽兰，高寒中的杜鹃，老林中的人参，冰山上的雪莲，绝顶上的灵芝，抽象思维的牡丹。”从困惑中展开联想，从一题多解激发学生的发散思维，从“犹抱琵琶半遮面”，到“千呼万唤始出来”过程中，弹奏出推导方法的多样性。学生会自觉投入到探索数学问题中来。