两角差的余弦公式教案

两角差的余弦公式教案共7页第1页两角差的余弦公式教案海南省三亚市第一中学数学组陈艳一教材分析和目标：本节课选自人教版.必修四.第三章第一节,是学习了第一章三角函数和第二章平面向量后的内容,其的中心任务是通过以知的向量和三角恒等变换知识,探索建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构.功能及其运用，同时本节内容也是第三章其他十个公式的推导基础。1.知识与技能(1)掌握两角差的余弦公式,并能用之解决简单的问题。(2)通过对公式的推导,对学生渗透探究思想、类比思想以及分类讨论思想。2.过程与方法目标：通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。3.情感与态度目标：通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。二教学重点、难点：重点：通过探索得到两角差的余弦公式，公式的灵活应用。难点：两角差的余弦公式探索与证明。教法：问题诱思法，探究法，演练结合法。学法：自主探究法三教学流程：一用熟悉的知识引出课题二明确探索的目标和途径三组织学生自主探索证明四通过例题练习加强对公式的理解六布置作业五小结两角差的余弦公式教案共7页第2页四教具:多媒体(幻灯片加几何画板课件演示)五教学情景设计:1.我们先看两个问题：（1）cos(π—β)＝?（2）cos(2π—β)＝?大家根据诱导公式很快得出了答案，大家接着思考一个问题，当特殊角π和2π被一般角α取代，（3）cos(α－β)＝?2.大家猜想了多种可能，其中有同学猜想cos(α－β)＝cosα－cosβ两角差的余弦公式教案共7页第3页cos(α－β)＝sinα－sinβcos(α－β)＝sinα－cosβcos(α－β)＝cosα－sinβ那么这些结论是否成立？3.我们一起来用计算器验证。(几何画板课件)在这里我们做与单位圆相交的两个角α，β，现在我们来一起模拟计算下大家猜想的几组结论。首先任意取一组α，β角，模拟计算出cos(α－β)cosα－cosβsinα-sinβcosα－sinβ由结果推翻假设（反证法），那么cos(α－β)到底等于什么呢？现在我们来借助计算机的强大计算功能，由cos(α－β)的结果模拟可能的答案。4.计算机模拟结论cos(α–β)＝cosαcosβ+sinαsinβ（黑板板书）。变换不同的α，β角度，结论仍保持不变。同学们观察分析该结论的构成，右边与向量夹角的坐标表示一致.5．证明过程如下：假设OA与OB的夹角为θ，OA＝（cosα，sinα），OB＝（cosβ，sinβ）由向量数量积的概念，有OA·OB＝|OA|·|OB|cosθ＝cosθ由向量数量积的坐标表示有OA·OB＝cosαcosβ+sinαsinβ于是有cosθ＝cosαcosβ+sinαsinβ分类讨论如下：（1）α－β在[0，π]时，θ＝α－β（2）α－β在[π，2π]时两向量夹角θ＝2π-（α－β）此时cos[2π-（α－β）]＝cos（α－β）（3）α－β在全体实数范围都可以由诱导公式转换到[0，2π]综合三种情况，cos(α－β)＝cosαcosβ+sinαsinβ。得证经过大家的猜想，计算，证明，我们得出两角差的余弦公式，有些同学开始产生疑问，我们最开始的两个诱导公式是否出现了错误，都是两角差的余弦，结论似乎不一致，现在我们一起来探讨，揭开谜底。两角差的余弦公式教案共7页第4页6．例一:用两角差的余弦公式证明问题（1）cos(π—β)＝－cosβ（2）cos(2π—β)＝cosβ证明（1）cos(π—β)＝cosπ·cosβ＋sinπ·sinβ＝－1·cosβ+0·sinβ＝－cosβ左边=右边所以cos(π—β)＝－cosβ得证证明（2）cos(2π—β)＝cos2π·cosβ+sin2π·sinβ＝1·cosβ+0·sinβ＝cosβ左边=右边所以cos(2π—β)＝cosβ得证前面我们都是用抽象的角度,现用具体角度.7．例二:用两角差余弦公式求cos15°.解法一:cos15°＝cos(45°—30°)＝cos45°·cos30°+sin45°·sin30°＝23212222＝624解法二:cos15°=cos(60°—45°)=cos60°·cos45°＋sin60°·sin45°＝624（分成17°-2°是否可行?）8．练习：证明:cos(α＋β)=cosα·cosβ－sinα·sinβ思考:能否参考两角差的余弦公式进行推导?我们的新课改提倡“减负”，从数学的角度，减负就是---“加正”，所以α＋β=α-(-β）证明:∵cos(α＋β)=cos[α－(-β）]两角差的余弦公式教案共7页第5页=cosα·cos(-β)+sinα·sin(-β)=cosα·cosβ－sinα·sinβ∴cos(α＋β)=cosα·cosβ－sinα·sinβ9．对比两角和与差的余弦公式:cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβcos(α＋β)=cosαcosβ－sinαsinβ余余异号正正10．化简求值：（1）cos105°cos15°＋sin105°sin15°=cos90°=0（2）cos(θ+20°)cos(θ－40°)＋sin(θ+20°)sin(θ－40°)=cos60°=12（3）cos35°cos10°－sin35°sin10°=cos45°=2211．回顾反思：（1）提出问题：由两个熟悉的诱导公式入手，从特殊到一般，提出问题。（2）探究问题假设猜想——反证否定——计算机模拟猜想——证明——肯定结论——灵活应用——公式对照记忆。12．下节课需要解决的内容，通过已经证明的两角和余弦的思路，思考两角和差的正弦。13．作业布置：课本131页第一题和第五题。14.板书设计两角差的余弦公式教案共7页第6页模拟结论cos(α–β)＝cosαcosβ+sinαsinβ证明过程如下：假设OA与OB的夹角为θ，OA＝（cosα，sinα），OB＝（cosβ，sinβ）由向量数量积的概念，有OA·OB＝|OA|·|OB|cosθ＝cosθ由向量数量积的坐标表示有OA·OB＝cosαcosβ+sinαsinβ于是有cosθ＝cosαcosβ+sinαsinβ分类讨论(1)(2)(3)两角差的余弦公式例一:用两角差的余弦公式证明问题（1）cos(π—β)＝－cosβ（2）cos(2π—β)＝cosβ证明（1）cos(π—β)＝cosπ·cosβ＋sinπ·sinβ＝－1·cosβ+0·sinβ＝－cosβ左边=右边所以cos(π—β)＝－cosβ得证证明（2）cos(2π—β)＝cos2π·cosβ+sin2π·sinβ＝1·cosβ+0·sinβ＝cosβ左边=右边所以cos(2π—β)＝cosβ得证例2用两角差余弦公式求cos15°解法一：cos15°=cos(45°—30°)=cos45°·cos30°+sin45°·sin30°解法二：cos15°=cos(60°—45°)=cos60°·cos45°＋sin60°·sin45°证明:cos(α＋β)=cosαcosβ－sinαsinβ思考:能否参考两角差的余弦公式进行推导?提示：cos(α＋β)=cos[α－(-β）]=cosαcos(-β)+siαsin(-β)=cosαcosβ－sinαsinβ对比:两角和与差的余弦公式:cos(α–β)=cosαcosβ+sinαsinβcos(α＋β)=cosαcosβ－sinαsinβ余余异号正正化简求值：1）cos105°cos15°＋sin105°sin15°（2）cos(θ+20°)cos(θ－40°)＋sin(θ+20°)sin(θ－40°)回顾反思：作业：课本131页第一题和第五题两角差的余弦公式教案共7页第7页教学设计附表:问题设计问题师生活动备注（1）cos(π－β)=?（2）cos(2π－β)=?简单问题入手，激发学生的学习兴趣引导学生分析结果，为接下来的内容做准备。π和2π都是特殊角，当特殊角被一般角取代呢？cos(α－β)=?本节课的主题学生自主探究，得出多种结果计算机模拟演示结果，否定假设借用计算机的运算功能帮我们模拟出可能的结果再次猜想结果cos(α―β)=cosαcosβ+sinαsinβ分析结论的结构，思考如何证明结论怎样联系向量数量积去探索公式（1）加强新旧知识的联系（2）使学生从直观角度加强对差角公式的结构认识让学生自主探索向量的证明过程；结合几何画板的图形展示α―β与向量夹角的联系与区别动画课件逐步展示：向量数量积证明诱导公式进行角度的余弦变换为什么同样是两角差的余弦，问题（1）、（2）和结论形式不一致？是诱导公式出现了错误吗？例一证明让学生带着好奇探索；激发学生的求知欲用差角余弦公式证cos(π－β)=-cosαcos(2π－β)=cosα得出结论，并不是诱导公式错误，而是因为特殊角度起到了化简的作用,诱导公式本质是特殊的差角余弦公式.例二（1）理解公式的基础练习（2）关注角度的拆分和拆分的多样性（1）求解过程可由学生独立完成（2）学生得到三角变换的一般认识教师做适当点评练习：证明cos(α＋β)=cosαcosβ―sinαsinβ用已有知识解决未知问题α＋β＝α―（―β）学生在老师引导下完成引导学生的发散思维如何记忆两角和差的余弦公式帮助学生对公式的理解记忆学生自主探索老师适当引导两角和差余弦公式总结：余余异号正正课堂练习结合公式口诀巧用公式学生结合口诀自主完成教师引导规范格式回顾反思，小结作业布置：课本131页第一题和第五题