上海市嘉定区2015-2016学年高三年级第一次质量调研数学试卷(理)

1上海市嘉定区2015-2016学年高三年级第一次质量调研数学试卷（理）考生注意：1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．3．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．221lim22nnnn____________．2．设集合},02{2RxxxxA，RxxxxB,011，则BA__________．3．若函数xaxf)(（0a且1a）的反函数的图像过点)1,3(，则a_________．4．已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是_________．5．在正方体1111DCBAABCD中，M为棱11BA的中点，则异面直线AM与CB1所成的角的大小为__________________（结果用反三角函数值表示）．6．若圆锥的底面周长为2，侧面积也为2，则该圆锥的体积为______________．7．已知31cos75sinsin75cos，则)230cos(_________．8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值是_____________．9．过点)2,1(P的直线与圆422yx相切，且与直线01yax垂直，则实数a的值为___________．10．甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传开始1k，0S2015k)1(1kkSS1kk输出S结束是否2给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是__________．11．已知直角梯形ABCD，AD∥BC，90BAD．2AD，1BC，P是腰AB上的动点，则||PDPC的最小值为__________．12．已知*Nn，若4022221123221nnnnnnnCCCC，则n________．13．对一切实数x，令][x为不大于x的最大整数，则函数][)(xxf称为取整函数．若10nfan，*Nn，nS为数列}{na的前n项和，则20102009S__________．14．对于函数)(xfy，若存在定义域D内某个区间],[ba，使得)(xfy在],[ba上的值域也是],[ba，则称函数)(xfy在定义域D上封闭．如果函数||1)(xkxxf（0k）在R上封闭，那么实数k的取值范围是______________．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“函数)sin()(xxf为偶函数”是“2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面外，则l在平面外．其中错误命题的个数是（）A．1B．2C．3D．417．已知圆M过定点)0,2(，圆心M在抛物线xy42上运动，若y轴截圆M所得的弦为AB，则||AB等于（）A．4B．3C．2D．118．已知数列}{na的通项公式为113294nnna，则数列}{na（）A．有最大项，没有最小项B．有最小项，没有最大项C．既有最大项又有最小项D．既没有最大项也没有最小项3三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于30003cm的溶液，当60时，能实现要求吗？请说明理由．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知Rx，设)cossin,cos2(xxxm，)cossin,sin3(xxxn，记函数nmxf)(．（1）求函数)(xf取最小值时x的取值范围；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2)(Cf，3c，求△ABC的面积S的最大值．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设函数xxaakxf)(（0a且1a）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若38)1(f，且函数)(2)(22xmfaaxgxx在区间),1[上的最小值为2，求实数m的值．①②422．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点)0,1(F的距离与P到定直线4x的距离之比为21．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若轨迹C上的动点N到定点)0,(mM（20m）的距离的最小值为1，求m的值．（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为1A、1B，且直线OA、OB的斜率之积等于43，问四边形11BABA的面积S是否为定值？请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．设复数nnnyixz，其中nxRny，*Nn，i为虚数单位，nnziz)1(1，iz431，复数nz在复平面上对应的点为nZ．（1）求复数2z，3z，4z的值；（2）是否存在正整数n使得nOZ∥1OZ？若存在，求出所有满足条件的n；若不存在，请说明理由；（3）求数列}{nnyx的前102项之和．5上海市嘉定区2015-2016学年高三年级第一次质量调研数学试卷（理）参考答案及评分标准一．填空题（每题4分，满分56分）1．212．},01{Rxxx（或)0,1[）3．314．25．510arccos6．337．978．201620159．4310．4111．312．413．10014．),1()1,(二．选择题（每题5分，满分20分）15．B16．C17．A18．C三．解答题（共5题，满分74分）答案中的分数为分步累积分数19．本题12分，第1小题6分，第2小题6分．（1）如图③，当倾斜至上液面经过点B时，容器内溶液恰好不会溢出，此时最大．…………………………………………………………………（2分）解法一：此时，梯形ABED的面积等于400202（2cm），………………（3分）因为CBE，所以tan2030DE，ADABDESABED)(21，即40020)tan2060(21，解得1tan，45．………………（5分）所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是45．……………（6分）解法二：此时，△BEC的面积等于图①中没有液体部分的面积，即200BECS（2cm），……………………………………………………（3分）因为CBE，所以tan21212BCCEBCSBEC，即200tan200，解得1tan，45．…………………………………………（5分）所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是45．…………（6分）60ABCDABCD③④EF6（2）如图④，当60时，设上液面为BF，因为6023arctanCBD，所以点F在线段AD上，………………………………………………………（1分）此时30ABF，31030tanABAF，ABFS315021AFAB（2cm），………………………………………（3分）剩余溶液的体积为33000203150（3cm），…………………………（4分）由题意，原来溶液的体积为80003cm，因为3000330008000，所以倒出的溶液不满30003cm．…………（5分）所以，要倒出不少于30003cm的溶液，当60时，不能实现要求．……（6分）20．本题14分，第1小题7分，第2小题7分．（1）xxxxxxnmxf2cos2sin3cossincossin32)(2262sin2x．………………………………………………………（3分）当)(xf取最小值时，162sinx，2262kx，Zk，……（6分）所以，所求x的取值集合是Zkkxx,6．…………………（7分）（2）由2)(Cf，得162sinC，…………………………（1分）因为C0，所以611626C，所以262C，3C．……………………………………（3分）在△ABC中，由余弦定理Cabbaccos2222，………………（4分）得ababba223，即3ab，…………………………（5分）所以△ABC的面积43323321sin21CabS，……………（6分）因此△ABC的面积S的最大值为433．……………………（7分）721．本题14分，第1小题6分，第2小题8分．（1）解法一：函数xxaakxf)(的定义域为R，因为)(xf是奇函数，所以01)0(kf，1k．…………………………………………………………（3分）当1k时，xxaaxf)(，)()(xfaaxfxx，)(xf是奇函数．所以，所求k的值为1．………………………………………………………（6分）解法二：函数xxaakxf)(的定义域为R，由题意，对任意Rx，)()(xfxf，……………………………………（2分）即xxxxakaaak，0))(1(xxaak，…………………………（4分）因为0xxaa，所以，1k．………………………………………………（6分）（2）由38)1(f，得381aa，解得3a或31a（舍）．…………（2分）所以)33(233)(22xxxxmxg，令xxt33，则t是关于x的增函数，38313t，2222)(22)()(mmtmttthxg，……………（2分）当38m时，则当38t时，2238238)(2minmxg，解得1225m；………………………………………………………………（5分）当38m时，则当mt时，22)(2minmxg，2m（舍去）．……（8分）综上，1225m．（本行不写不扣分，每讨论一种情况正确得3分）22．本题16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．（1）设),(yxP，由题意，21|4|)1(22xyx，……………………………（2分）化简得124322yx，………………（3分）所以，动点P的轨迹C的方程为13422yx．………………………………（4分）（2）设),(yxN，则3241413)()(||2222222mmxxxmxymxMN8)1(3)4(4122mmx，22x．………………………………（2分）①当24