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第1页（共25页）2016年上海市杨浦区高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知矩阵，，则A+B=．2．已知全集U=R，集合，则集合∁UA=．3．已知函数，则方程f﹣1（x）=4的解x=．4．某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具，该球表面用白布包裹，则至少需要白布平方米．5．无穷等比数列{an}（n∈N*）的前n项的和是Sn，且，则首项a1的取值范围是．6．已知虚数z满足2z﹣=1+6i，则|z|=．7．执行如图所示的流程图，则输出的S的值为．8．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人不在同一个食堂就餐的概率是．9．展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x的系数为．第2页（共25页）10．若数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为．11．如图，在矩形OABC中，点E，F分别在AB，BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若=+（λ，μ∈R），则λ+μ=．12．已知，当x∈[a，a+1]时不等式f（x+a）≥f（2a﹣x）恒成立，则实数a的最大值是．13．抛物线C的顶点为原点O，焦点F在x轴正半轴，过焦点且倾斜角为的直线l交抛物线于点A，B，若AB中点的横坐标为3，则抛物线C的方程为．14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，当x＞0时，f（x+1）=f（x）+f（1），若直线y=kx与函数y=f（x）的图象恰有11个不同的公共点，则实数k的取值范围为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d则a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则＜16．设、是两个单位向量，其夹角为θ，则“”是“|﹣|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．对于两个平面α，β和两条直线m，n，下列命题中真命题是（）A．若m⊥α，m⊥n，则n∥αB．若m∥α，α⊥β，则m⊥βC．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nD．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n18．下列函数中，既是偶函数，又在（0，π）上递增的函数的个数是（）第3页（共25页）①y=tan|x|②y=cos（﹣x）③④．A．1个B．2个C．3个D．4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充．已知金字塔的每一条棱和边都相等（1）求证：直线AC垂直于直线SD．（2）若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满？20．某农场规划将果树种在正方形的场地内．为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树．在如图里，你可以看到规划种植果树的列数（n），果树数量及松树数量的规律：（1）按此规律，n=5时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量an，及松树数量bn关于n的表达式．（2）定义：f（n+1）﹣f（n）（n∈N*）为f（n）增加的速度；现农场想扩大种植面积，问：哪种树增加的速度会更快？并说明理由．21．如图，在一条景观道的一端有一个半径为50米的圆形摩天轮O，逆时针15分钟转一圈，从A处进入摩天轮的座舱，OA垂直于地面AM，在距离A处150米处设置了一个望远镜B．第4页（共25页）（1）同学甲打算独自乘坐摩天轮，但是其母亲不放心，于是约定在登上摩天轮座舱5分钟后，在座舱内向其母亲挥手致意，而其母亲则在望远镜B中仔细观看．问望远镜B的仰角θ应调整为多少度？（精确到1度）（2）在同学甲向其母亲挥手致意的同时，同一座舱的另一名乘客乙在拍摄地面上的一条绿化带BD，发现取景的视角α恰为45°，求绿化带BD的长度（精确到1米）．22．如图，曲线Γ由两个椭圆T1：和椭圆T2：组成，当a，b，c成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”．（1）若猫眼曲线Γ过点，且a，b，c的公比为，求猫眼曲线Γ的方程；（2）对于题（1）中的求猫眼曲线Γ，任作斜率为k（k≠0）且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆T1所得弦的中点为M，交椭圆T2所得弦的中点为N，求证：为与k无关的定值；（3）若斜率为的直线l为椭圆T2的切线，且交椭圆T1于点A，B，N为椭圆T1上的任意一点（点N与点A，B不重合），求△ABN面积的最大值．23．已知函数f（x）（x∈D），若存在常数T（T＞0），对任意x∈D都有f（x+T）=T•f（x），则称函数f（x）为T倍周期函数（1）判断h（x）=x是否是T倍周期函数，并说明理由．（2）证明是T倍周期函数，且T的值是唯一的．第5页（共25页）（3）若f（n）（n∈N*）是2倍周期函数，f（1）=1，f（2）=﹣4，Sn表示f（n）的前n项和，Cn=，若Cn＜loga（a+1）+10恒成立，求a的取值范围．第6页（共25页）2016年上海市杨浦区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知矩阵，，则A+B=．【考点】几种特殊的矩阵变换．【专题】计算题；规律型；矩阵和变换．【分析】直接利用矩阵的和分运算法则求解即可．【解答】解：矩阵，，∴=．故答案为：．【点评】本题考查矩阵的和的求法，是基础题．2．已知全集U=R，集合，则集合∁UA={x|x＜1或x≥2}．【考点】补集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据全集U=R，求出A的补集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x﹣2）≤0，且x﹣2≠0，解得：﹣1≤x＜2，即A={x|﹣1≤x＜2}，∵全集U=R，∴∁UA={x|x＜1或x≥2}，故答案为：{x|x＜1或x≥2}【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3．已知函数，则方程f﹣1（x）=4的解x=1．第7页（共25页）【考点】反函数；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足f﹣1（x）=4的x值，即求f（4）的值．【解答】解：由题意得，即求f（4）的值∵，，∴f（4）=log3（1+2）=1，∴f（4）=1．即所求的解x=1．故答案为1．【点评】本题主要考查了反函数的概念，互为反函数的两个函数的函数值和关系，属于基础题．4．某洗衣液广告需要用到一个直径为4米的球作为道具，该球表面用白布包裹，则至少需要白布16π平方米．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】求出球的半径，可得球的表面积，即可得出结论．【解答】解：∵球的直径为4米，∴半径为2米，∴球的表面积为4π•22=16π平方米．故答案为：16π平方米．【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，比较基础．5．无穷等比数列{an}（n∈N*）的前n项的和是Sn，且，则首项a1的取值范围是（0，）∪（，1）．【考点】数列的极限．【专题】计算题；极限思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】根据所给的前n项和的极限的值，做出首项和公比之间的关系，根据公比的范围，得到首项的范围，解不等式即可．【解答】解：设无穷等比数列{an}的公比为q，|q|＜1且q≠0，第8页（共25页）由，又无穷等比数列的求和公式Sn=，即q=1﹣2a1，即有|1﹣2a1|＜1且|1﹣2a1|≠0，解得a1∈（0，）∪（，1）．故答案为：（0，）∪（，1）．【点评】本题考查了无穷等比数列的前n项和公式，极限的运算法则及其不等式的解法问题，本题解题的关键是运用无穷等比数列的求和公式来解题．6．已知虚数z满足2z﹣=1+6i，则|z|=．【考点】复数求模．【专题】计算题．【分析】设出复数，写出复数对应的共轭复数的式子，把设出的结果代入等式中，合并同类项，写成复数的标准形式，利用复数的相等的充要条件，写出a和b的值，得到结果．【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi，∵虚数z满足2z﹣=1+6i，∴2（a+bi）﹣（a﹣bi）=1+6i，∴a+3bi=1+6i，∴a=1，3b=6，∴a=1，b=2，∴|z|=，故答案为：【点评】本题需要先对所给的复数式子整理，展开运算，得到a+bi的形式，主要依据复数相等的条件，本题可以作为一个选择或填空出现在高考卷的前几个题目中．7．执行如图所示的流程图，则输出的S的值为．第9页（共25页）【考点】程序框图．【专题】操作型；等差数列与等比数列；算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，其中S=+++…+=[（1）+（﹣）+（﹣）+…+（）]=×（1）=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是程序框图，裂项相消法求和，分析出循环的功能是解答的关键．．8．学校有两个食堂，现有3名学生前往就餐，则三个人不在同一个食堂就餐的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】对应思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出在同一个食堂就餐的概率，从而求出不在同一个食堂就餐的概率即可．【解答】解：三名学生选择每一个食堂的概率均为，则他们同时选中A食堂的概率为：××=；第10页（共25页）他们同时选中B食堂的概率也为：××=；故们在同一个食堂用餐的概率P=+=，故三个人不在同一个食堂就餐的概率是：，故答案为：．【点评】本题考查了概率问题，作差即可，是一道基础题．9．展开式的二项式系数之和为256，则展开式中x的系数为﹣56．【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】由条件利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得展开式中x的系数．【解答】解：由于展开式的二项式系数之和为2n=256，n=8，故它的展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•，令=1求得r=3，可得展开式中x的系数为﹣=﹣56，故答案为：﹣56．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题10．若数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为36．【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题；转化思想；概率与统计．【分析】根据方差是标准差的平方，数据增加a，方差不变，数据扩大a，方差扩大a2倍，可得答案．【解答】解：数a1，a2，a3，a4，a5的标准差为2，则数a1，a2，a3，a4，a5的方差为4，∴数3a1﹣2，3a2﹣2，3a3﹣2，3a4﹣2，3a5﹣2的方差为4×32=36，故答案为：36第11页（共25页）【点评】本题考查的知识点是极差、方差与标准差，熟练掌握方差与标准差之间的关系，及数据增加a，方差不变，数据扩大a，方差扩大a2倍，是解答的关键．11．如图，在矩形OABC中，点E，F分别在AB，BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若=+（λ，μ∈R），则λ+μ=．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，建立直角坐标系．通过向量的坐标运算及共面向量定理即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．设A（a，0），C（0，b），则B（a，b）．∵AB=3AE，BC=3CF，∴E，F．∵=+，∴（a，b）=+，∴，解得λ+μ=．故答案为：．【点评】本题考查了向量的坐标运算及共面向量定理，属于基础题．第12页（共25页）12．已知，当x∈[a，a+