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第1页（共30页）2016年上海市浦东新区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.注：填写其他等价形式则得分1．已知集合A={x|x≤3}，B={x|x＜2}，则A∩∁RB=．2．已知向量平行，则m=．3．关于x，y的一元二次方程组的系数矩阵．4．=．5．若复数z满足（i为虚数单位），则|z|=．6．（2x+1）10的二项展开式中的第八项为．7．某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30°方向，与A相距6.0海里．船由A向正北方向航行8.1海里达到C处，这时灯塔B与船相距海里（精确到0.1海里）8．已知，则=．9．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点，则AE与平面B1BCC1所成的角为．（，）（结果用反三角表示）第2页（共30页）10．已知函数f（x）的图象与g（x）=2x的图象关于直线y=x对称，令h（x）=f（1﹣|x|），则关于函数h（x）有下列命题：①h（x）的图象关于原点对称；②h（x）的图象关于y轴对称；③h（x）的最大值为0；④h（x）在区间（﹣1，1）上单调递增．其中正确命题的序号为（写出所有正确命题的序号）．11．有一列向量：，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列．已知等差向量列，满足，，那么这列向量中模最小的向量的序号n=．12．已知，则f（x）与g（x）图象交点的横坐标之和为．二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分.13．如果a＞b＞0，那么下列不等式中不正确的是（）A．B．C．ab＞b2D．a2＞ab14．设α：x=1且y=2，β：x+y=3，α是β成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件第3页（共30页）15．方程kx2+4y2=4k表示焦点在x轴的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．k＞4B．k=4C．k＜4D．0＜k＜416．甲、乙、丙、丁四人排成一排，其中甲、乙两人相邻的概率是（）A．B．C．D．17．直线ax+by=0与圆x2+y2+ax+by=0的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定18．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1B．2C．3D．419．设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=（）A．B．C．0D．﹣20．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于（）A．B．C．D．21．已知函数f（x）存在反函数f﹣1（x），若函数y=f（x+1）过点（3，3），则函数f﹣1（x）恒过点（）A．（4，3）B．（3，4）C．（3，2）D．（2，3）22．一个弹性小球从10米自由落下，着地后反弹到原来高度的处，再自由落下，又弹回到上一次高度的处，假设这个小球能无限次反弹，则这个小球在这次运动中所经过的总路程为（）A．50B．80C．90D．100第4页（共30页）23．符合以下性质的函数称为“S函数”：①定义域为R，②f（x）是奇函数，③f（x）＜a（常数a＞0），④f（x）在（0，+∞）上单调递增，⑤对任意一个小于a的正数d，至少存在一个自变量x0，使f（x0）＞d．下列四个函数中，，，中“S函数”的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个24．将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点O为中心﹐其中﹐分别为原点O到两个顶点的向量﹒若将原点O到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为a+b的形式﹐则a+b的最大值为（）A．2B．3C．4D．5三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤．注：其他解法相应给分25．已知OA，OB，OC交于点O，，E，F分别为BC，OC的中点．求证：DE∥平面AOC．第5页（共30页）26．已知函数f（x）=2sinx，将函数y=f（x）的图象向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的解析式，并写出它的单调递增区间．27．已知两个向量=（1+log2x，log2x），=（log2x，1）（1）若⊥，求实数x的值；（2）求函数f（x）=•，x∈[，2]的值域．28．已知数列{an}的前n项的和Sn=n2﹣n．（1）求{an}的通项公式an；（2）当n≥2时，an+1+≥λ恒成立，求实数λ的取值范围．29．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x0，y0）、直线l：ax+by+c=0，我们称为点P（x0，y0）到直线l：ax+by+c=0的方向距离．（1）设椭圆上的任意一点P（x，y）到直线l1：x﹣2y=0，l2：x+2y=0的方向距离分别为δ1、δ2，求δ1δ2的取值范围．（2）设点E（﹣t，0）、F（t，0）到直线l：xcosα+2ysinα﹣2=0的方向距离分别为η1、η2，试问是否存在实数t，对任意的α都有η1η2=1成立？若存在，求出t的值；不存在，说明理由．第6页（共30页）（3）已知直线l：mx﹣y+n=0和椭圆E：（a＞b＞0），设椭圆E的两个焦点F1，F2到直线l的方向距离分别为λ1、λ2满足，且直线l与x轴的交点为A、与y轴的交点为B，试比较|AB|的长与a+b的大小．30．如图，点A（﹣1，0）、B（1，0），点C在x轴正半轴上，过线段BC的n等分点Di作与BC垂直的射线li，在li上的动点P使∠APB取得最大值的位置记作Pi（i=1，2，3，…，n﹣1）．是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数n≥2，点Pi（i=1，2，…，n﹣1）都在这条曲线上？说明理由．31．定义符号函数sgn（x）=，已知a，b∈R，f（x）=x|x﹣a|sgn（x﹣1）+b．（1）求f（2）﹣f（1）关于a的表达式，并求f（2）﹣f（1）的最小值．（2）当b=时，函数f（x）在（0，1）上有唯一零点，求a的取值范围．（3）已知存在a，使得f（x）＜0对任意的x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．32．已知两个无穷数列{an}，{bn}分别满足，，其中n∈N*，设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn、Tn．（1）若数列{an}，{bn}都为递增数列，求数列{an}，{bn}的通项公式．（2）若数列{cn}满足：存在唯一的正整数k（k≥2），使得ck＜ck﹣1，称数列{cn}为“k坠点数列”．①若数列{an}为“5坠点数列”，求Sn．②若数列{an}为“p坠点数列”，数列{bn}为“q坠点数列”，是否存在正整数m，使得Sm+1=Tm，若存在，求m的最大值；若不存在，说明理由．第7页（共30页）2016年上海市浦东新区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.注：填写其他等价形式则得分1．已知集合A={x|x≤3}，B={x|x＜2}，则A∩∁RB=[2，3]．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】根据全集R，以及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：∵A={x|x≤3}，B={x|x＜2}，∴∁RB={x|x≥2}，则A∩（∁RB）={x|2≤x≤3}．故答案为：[2，3]．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．已知向量平行，则m=﹣．【考点】平行向量与共线向量．【专题】计算题；函数思想；平面向量及应用．【分析】直接利用斜率的平行列出方程求解即可．【解答】解：向量平行，可得﹣2m=1，解得m=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．3．关于x，y的一元二次方程组的系数矩阵．【考点】几种特殊的矩阵变换．第8页（共30页）【专题】计算题；规律型；矩阵和变换．【分析】直接利用方程组与系数矩阵写出结果即可．【解答】解：关于x，y的一元二次方程组的系数矩阵，故答案为：．【点评】本题考查方程组与系数矩阵的关系，是基础题．4．=3．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】借助指数函数的运算法则，先把原式等价转化为，由此能够得到它的极限值．【解答】解：==3．故答案为：3．【点评】本题考查极限的性质和运算，解题时要注意指数运算法则的合理运用．5．若复数z满足（i为虚数单位），则|z|=．【考点】复数求模．【专题】方程思想；数系的扩充和复数．【分析】利用行列式的性质可得z﹣i（1﹣2i）=0，再利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：∵复数z满足（i为虚数单位），∴z﹣i（1﹣2i）=0，化为z=i+2．第9页（共30页）则|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了行列式的性质、复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（2x+1）10的二项展开式中的第八项为960x3．【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题；规律型；二项式定理．【分析】直接利用二项式定理写出结果即可．【解答】解：（2x+1）10的二项展开式中的第八项为：=960x3．故答案为：960x3．【点评】本题考查二项式定理的应用，基本知识的考查．7．某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30°方向，与A相距6.0海里．船由A向正北方向航行8.1海里达到C处，这时灯塔B与船相距4.2海里（精确到0.1海里）【考点】解三角形的实际应用．【专题】应用题；方程思想；综合法；解三角形．【分析】直接由余弦定理可得结论．【解答】解：由余弦定理可得BC=≈4.2海里．故答案为：4.2．【点评】本题考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．8．已知，则=．【考点】两角和与差的正弦函数．第10页（共30页）【专题】计算题；函数思想；方程思想；三角函数的求值．【分析】求出角的余弦函数值，然后利用两角和的正弦函数化简求解即可．【解答】解：，可得sinα=，cosα=﹣，=sinαcos+cosαsin==．故答案为：．【点评】本题考查两角和的正弦函数以及同角三角函数的基本关系式诱导公式的应用，考查计算能力．9．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点，则AE与平面B1BCC1所成的角为．（，）（结果用反三角表示）【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】由AB⊥平面B1BCC1，知∠AEB是AE与平面B1BCC1所成的角，由此能求出AE与平面B1BCC1所成的角的大小．【解答】解：连结BE，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点，∴BE==，∴AB⊥平面B1BCC1，∴∠AEB是AE与平面B1BCC1所成的角，∵tan∠AEB===，∴∠AEB=．故答案为：．第11页（共30页）【点评】本题考查线面角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．已知函数f（x）的图象与g（x）=2x的图象关于直线y=x对称，令h（x）=f（1﹣|x|），则关于函数h（x）有下列命题：①h（x）的图象关于原点对称；②h（x）的图象关于y轴对称；③h（x）的最大值为0；④h（x）在区间（﹣1，1）上单调递增．其中正确命题的序号为②③（写出所有正确命题的序号）．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】图象关于直线y=x对称，利用反函数求出h（x）=log2（1﹣|x|），为偶函数，根据偶函数的性质和对数函数性质可进行判断．【解答】解：函数f（x）的图象与g（x）=2x的图象关于直线y=x对称，∴f（x）=log2x，h（x）=log2（1﹣|x|），为偶函数，∴①错误；②h（x）的图象关于y轴对称，故正