上海市闵行区2016届高三第一学期质量调研考试数学理试题

·1·闵行区2015学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷（理科）2016.01（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．本试卷共有23道试题．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．若复数z满足i3iz（i为虚数单位），则||z.22．若全集UR，函数21xy的值域为集合A，则UAð.)0,(3．方程4260xx的解为.2log3x4．函数cos()sinsin()cosxxfxxx的最小正周期T=.5．不等式xx4的解集为.)2,0(6．若一圆锥的底面半径为3，体积是12，则该圆锥的侧面积等于.7．已知ABC△中，43ABij，34ACij，其中ij、是基本单位向量，则ABC△的面积为.2528．在2017年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选科方案有种.109．若nS是等差数列na的前n项和，且861086SS，则2limnnSn.510．若函数()2xafx()aR满足(1)(1)fxfx，且()fx在[,)m上单调递增，则实数m的最小值等于.111．若点P、Q均在椭圆2222:11xyaa(1)a上运动，12FF、是椭圆的左、右焦点，则122PFPFPQ的最大值为.2a12．已知函数14cos042()log(3)14xxfxxx，，，若实数abc、、互不相等，且满足学校_______________________班级__________准考证号_________姓名______________…………………………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………·2·)()()(cfbfaf，则abc的取值范围是.(823)，13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为ba和dc（*,,,abcdN）,则bdac是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道3.14159，若令31491015，则第一次用“调日法”后得165是的更为精确的过剩近似值，即3116105，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似分数为.22714．已知数列na的前n项和为nS，对任意n*N，1(1)32nnnnSan且1()()0nnapap恒成立，则实数p的取值范围是.311,44二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．若,abR，且0ab，则“ab”是“2baab等号成立”的（A）.(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既非充分又非必要条件16．设2345()2510105fxxxxxx，则其反函数的解析式为（C）.(A)511yx(B)511yx(C)511yx(D)511yx17．ABC△的内角,,ABC的对边分别为cba,,，满足abccbabc，则角A的范围是（B）.(A)0,(B)0,(C),(D),18．函数()fx的定义域为1,1，图像如图1所示；函数()gx的定义域为1,2，图像如图2所示.(())0Axfgx,(())0Bxgfx,则AB中元素的个数为（C）.(A)1(B)2(C)3(D)4三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）CABDA1B1C1xy-1O121图2xy-1O11-1图1·3·如图，三棱柱111ABCABC中，侧棱1AA底面ABC，12AAAB，1BC,BAC，D为棱1AA中点，证明异面直线11BC与CD所成角为，并求三棱柱111ABCABC的体积．[证明]在三棱柱111ABCABC中，侧棱1AA底面ABC，11//BCBC，BCD或它的补角即为异面直线11BC与CD所成角，…………………………2分由2AB，1BC,BAC以及正弦定理得sinACB，ACB即BCAC，…………4分又1BCAA，11BCACCA面，…………6分BCCD………………8分所以异面直线11BC与CD所成角的为2．……………………10分三棱柱111ABCABC的体积为1131232ABCVSAA△．…………12分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分．如图，点A、B分别是角、的终边与单位圆的交点，02．（1）若3=4，2cos3，求sin2的值；（2）证明：cos()coscossinsin．[解]（1）方法一:2cos3，1)(cos2)22cos(2=91…3分3=4，即91)223cos(，………………………………6分912sin．………………………………8分方法二:2cos3，3=4，即32sin22cos22，…………3分322cossin，两边平方得，982sin1……………………………6分912sin．…………………………………8分OxyAB·4·（2）[证明]由题意得，)sin,(cosOA，)sin,(cosOBOBOA=sinsincoscos………………10分又因为OA与OB夹角为，1OBOAOBOA=)cos()cos(OBOA………………………12分综上cos()coscossinsin成立．……………………………14分21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．某沿海城市的海边有两条相互垂直的直线型公路1l、2l，海岸边界MPN近似地看成一条曲线段.为开发旅游资源，需修建一条连接两条公路的直线型观光大道AB，且直线AB与曲线MPN有且仅有一个公共点P（即直线与曲线相切），如图所示．若曲线段MPN是函数ayx图像的一段，点M到1l、2l的距离分别为8千米和1千米，点N到2l的距离为10千米，以1l、2l分别为xy、轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，设点P的横坐标为p.（1）求曲线段MPN的函数关系式，并指出其定义域；（2）若某人从点O沿公路至点P观景，要使得沿折线OAP比沿折线OBP的路程更近，求p的取值范围.[解]（1）由题意得(1,8)M，则8a，故曲线段MPN的函数关系式为8yx，4分又得4(10,)5N，所以定义域为1,10.……………………………6分（2）8(,)Ppp，设8:()ABykxpp由8()8ykxppyx得22(8)80kpxkpxp，22222(8)32(8)0kpkpkp,…………8分22880,kpkp，得直线AB方程为288()yxppp，………10分得16(0,)(2,0)ABpp、，故点P为AB线段的中点，xyABMNPO大海1l2l·5·由2168220pppp即280p…………………………12分得22p时，OAOB，所以，当2210p时，经点A至P路程最近.14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)(3)小题满分各6分．已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点3(1,)2，它的一个焦点与抛物线2:4yx的焦点重合．（1）求椭圆的方程；（2）斜率为k的直线l过点1,0F，且与抛物线交于AB、两点，设点(1,)Pk，PAB△的面积为43，求k的值；（3）若直线l过点0,Mm（0m），且与椭圆交于CD、两点，点C关于y轴的对称点为Q，直线QD的纵截距为n，证明：mn为定值.[解]（1）设椭圆的方程为222210xyabab，由题设得222219141abab，…2分2243ab，椭圆的方程是22143xy…………………………4分（2）设直线:(1)lykx，由2(1),4,ykxyx得22222(2)0kxkxkl与抛物线有两个交点，0k，216(1)0k，则42422224(44)44(1)1kkkkABkkk…………………………6分(1,)Pk到l的距离231kdk，又43PABS△,222314(1)4321kkkk22433kk，故3k．………………………10分（3）1122,,,CxyDxy，点C关于y轴的对称点为11(,)Qxy，则直线211121:()yyCDyyxxxx，设0x得121211212121()xyyxyxymyxxxx直线211121:()yyQDyyxxxx，设0x得121211212121()xyyxyxynyxxxx14分·6·222221122221xyxymnxx，又2211143xy，2222143xy22113(4)4yx，22223(4)4yx22222222211221122222212133(4)(4)443xxxxxyxymnxxxx．………………………16分23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．已知数列na的各项均为整数，其前n项和为nS．规定：若数列na满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第1r项起往后依次成公比为2的等比数列，则称数列na为“r关联数列”．（1）若数列na为“6关联数列”，求数列na的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出nS，并证明：对任意n*N，66nnaSaS；（3）已知数列na为“r关联数列”，且110a，是否存在正整数,()kmmk，使得121121?kkmmaaaaaaaa若存在，求出所有的,km值；若不存在，请说明理由．[解]（1）na为“6关联数列”，na前6项为等差数列，从第5项起为等比数列,4,51516aaaa且256aa，即24511aa，解得31a…………2分54,42,5nnnnan（或554,54,62,62,7nnnnnnnann）．……………………4分（2）由（1）得2417,42227,5nnnnnSn（或22441717,5,6222227,627,7nnnnnnnnnSnn）…………………………………6分2345:3,2,1,0,1,2,2,2,2,2,na，:3,5,6,6,5,3,1,9,25,nS