上海市静安区2015届高三上学期期末教学质量检测(一模)数学理试卷Word版含解析

静安区2014学年第一学期高三年级高考数学模拟理卷（试卷满分150分考试时间120分钟）2014.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合0,2xxyyM，)2lg(2xxyxN，则NM.答案：)2,0(考点：集合的描述法备考建议：强调，对集合描述法要区分集合的代表元。2．设8877108)1(xaxaxaax，则8710aaaa.答案：25628考点：二项式定理解法：将1x代入式子中备考建议：让学生理解，二项式题型中的赋值法，并补充一些通过某一项系数判断二项式次数的题型。3．不等式01271x的解集是.答案：)4,21(考点：分式不等式的解法备考建议：分式不等式建议通分后再解不等式，易错点是：不等式性质中，若要两边同乘除，要注意所乘所除数的正负性。4．如图，在四棱锥ABCDP中，已知PA底面ABCD，1PA，底面ABCD是正方形，PC与底面ABCD所成角的大小为6，则该四棱锥的体积是.答案：12考点：锥体体积的求法备考建议：让学生熟练掌握各简单几何体面积与体积的公式。5．已知数列na的通项公式1222nnna（其中*Nn），则该数列的前n项和nS.答案：)212(4nn考点：数列分组求和，等比数列求和。备考建议：此类题型要让学生观察数列通项公式的结构，从而选择正确的求和方法。同时，也可带领回忆一下倒序相加、错位相减、裂项相消的常用求和方法及其适用情况。ABCDP6．已知两个向量a，b的夹角为30°，3a，b为单位向量，btatc)1(,若cb=0，则t=.答案：2考点：向量的数量积：解法：由于b与c、a、b的数量积都有联系，故等式两边同乘上一个b。7．已知11)(xxxf，45)2(xf(其中)0x，则x.答案：221log2x考点：绝对值方程的解法。解法：先解出方程5114tt，之后再解2xt备考建议：带领学生回忆遇到绝对值的几种处理方法：分段讨论、数形结合、绝对值不等式解法。同时，不要忘记圈划题目中特殊的范围信息“(其中)0x”8．已知△ABC的顶点)6,2(A、)1,7(B、)3,1(C，则△ABC的内角BAC的大小是.（结果用反三角函数值表示）答案：55arccos考点：向量数量积求夹角。备考建议：回忆向量数量积求夹角公式，以及斜率求夹角公式，并分析它们的缺陷及适用情形。9．若、是一元二次方程0322xx的两根，则11=.答案：31考点：韦达定理的应用注意：方程判别式小于0，但不影响这道题的解答，韦达定理对一元二次方程均适用。10．已知tan、tan是方程04332xx的两根，、)2,2(，则=.答案：32考点：韦达定理，两角和与差的正切公式，任意角的三角比。注意：由两根的和与积可以判断出、都是负角11．直线l经过点)1,2(P且点)1,2(A到直线l的距离等于1，则直线l的方程是.答案：03213yx或03213yx考点：点到直线距离公式。备考建议：此类题型若只解出一条直线时，注意判断斜率不存在的情况。12．已知实数x、y满足1yx，则xy2的取值范围是.答案：]2,2[考点：利用函数性质作图，数形结合。备考建议：画带有绝对值的函数的图像，注意利用绝对值得对称性，如本题只要画出函数在第一象限的图像，然后利用绝对值的对称性，即可得到函数其他象限的图像。同时，xy2也可以数形结合，理解成斜率去求范围。13．一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围是.答案：12S。考点：无穷等比数列各项和。备考建议：带领学生回忆一下，无穷等比数列需要满足各条件是，其公比分别需要满足的不同范围，以及强调在某些等比数列极限题型中，不要忘记排除0q的情况。14．两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛，每两名参赛选手之间都比赛一次，胜者得1分，和棋各得0.5分，输者得0分，即每场比赛双方的得分之和是1分.两名高一年级的学生共得8分，且每名高二年级的学生都得相同分数，则有名高二年级的学生参加比赛.（结果用数值作答）答案：7或者14考点：排列组合解法：通过所有人的总分和为联系来列等式。设高二年级学生共有n人，高二年级每人获得2k分（kN）于是所有人的总分和为：82kn由于共有22nC场比赛，所以所有人的总分和也可表示为22nC故2282nkCn，得143knn（kN），故714nor备考建议：此类较新颖的题型，建议学生要仔细审题，抓住题中的关键点作为突破口入手。二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．在下列幂函数中，是偶函数且在),0(上是增函数的是()A．2xy；B．21xy；C．31xy；D．32xy答案：D考点：幂函数的图像及其性质备考建议：带领学生回忆考纲中涉及到的几类幂函数的性质及其图像。16．已知直线06)2(3:1ykxl与直线02)32(:2ykkxl，记32)2(3kkkD.0D是两条直线1l与直线2l平行的()A．充分不必要条件；B．必要不充分条件；C．充要条件；D．既不充分也不必要条件答案：B考点：行列式判断两直线位置关系备考建议：带领学生回忆，判断直线位置关系的先后步骤，并指出二元一次方程组的解与直线位置关系之间的联系。17．已知i为虚数单位，图中复平面内的点A表示复数z，则表示复数1zi的点是()A．MB．NC．PD．Q答案：D考点：复平面，复数的运算备考建议：学生要理解复数与复平面坐标之间的互相联系与转化。18．到空间不共面的四点距离相等的平面个数为()A．1个；B．4个；C．7个；D．8个答案：C考点：立体几何，排列组合解法：分两种情形进行讨论1.一个点在平面的一侧，而另外三个点在平面的另一侧，故有144C种情况。2.两个点在平面的一侧，而另外两个点在平面的另一侧，故有2423C种情况。（注意此处为平均分组问题，故要除以2，以以防重复。）备考建议：遇到此类，直接思考会比较复杂的题型，建议利用分类的思想，简化情况，可能会取得比较好的效果。三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C所对的边长，且满足baA23sin.（1）求B的大小；1234-11231-1-2-3-4-2-3P1Q1N1M1A1x1y1（2）若7b，ABC的面积334ABCS，求ac的值.考点：正弦定理、余弦定理。答案：（1）根据正弦定理BbAasinsin，得bBbaAsin23sin，所以23sinB，………（4分）又由角B为锐角，得3B；…………………………（6分）（2）BacSABCsin21，又334ABCS，所以3ac，…………………………（8分）根据余弦定理Baccabcos2222，得1037cos2222Bacbca，…………………………（12分）所以accaca2)(222=16，从而ac=4．…………………………（14分）备考建议：带领学生回忆正弦定理与余弦定理的适用情形（如对边对角同时出现，一般选择使用正弦定理；三边一角同时涉及时，一般选择使用余弦定理，等等），以及正、余弦定理的一些变形形式，特别是出现两边之和的形式ac往往和余弦定理的变形式有关。20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.某地的出租车价格规定:起步费a元，可行3公里，3公里以后按每公里b元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里c元计算（这里a、b、c规定为正的常数，且bc），假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）若取14a，4.2b，6.3c，小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费y（元）与行车里程x(公里)之间的函数关系式)(xfy.考点：函数关系的建立，分段函数答案：（1）他应付出租车费26元；……………………………（4分）（2）　,)10(107c)013(3b)30(,xcbaxxbaxxay备考建议：遇到应用题，要提醒学生仔细审题，对涉及参量范围及特性的语句要养成圈划习惯。同时，求出函数对应关系时，切记要留意函数的定义域。………………（6分）………………（10分）………………（14分）21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，长方体1111DCBAABCD中，2ADAB，41AA，点P为面11AADD的对角线1AD上的动点（不包括端点）.PM平面ABCD交AD于点M，BDMN于点N.（1）设xAP，将PN长表示为x的函数；（2）当PN最小时，求异面直线PN与11CA所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）考点：建立函数关系，异面直线所成角答案：（1）在△APM中，552xPM，55xAM；………………………（2分）其中520x；………………………（3分）在△MND中，)552(22xMN，…………………………（4分）在△PMN中，2552109PN2xx，)52,0(x……………………………（6分）（2）当952x)52,0(时，PN最小，此时34PN．……………………………（8分）因为在底面ABCD中，BDACBM,DN，所以ACMN//，又ACCA//11，PNM为异面直线PN与11CA所成角的平面角，…………………（11分）在△PMN中，PMN为直角，42tanPNM，所以42arctanPNM，异面直线PN与11CA所成角的大小42arctan（或31arcsin等）……………（14分）备考建议：此类题型，要注意帮学生理清各线段长度之间的对应关系，并加以表示出来。22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数)1(log)(2xxxfa（其中1a）.（1）判断函数)(xfy的奇偶性，并说明理由；（2）判断nmnfmf)()(（其中Rnm,且0nm）的正负号，并说明理由；（3）若两个函数)(xF与)(xG在闭区间],[qp上恒满足2)()(xGxF，则称函数)(xF与)(xG在闭区间],[qp上是分离的.试判断)(xfy的反函数)(1xfy与xaxg)(在闭区间]2,1[上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由.ABCDA1B1C1D1PMN考点：函数奇偶性，函数单调性，恒成立问题。答案：（1）因为012xxxx，所以函数)(xfy的定义域为实数集R；…………………………（1分）又0)1(log)1(log)1(log)()(2222xxxxxxxfxfaaa，所以函数)(xfy是奇函数．…………………………（4分）（2）因为1a，所以)1(log)(2xxxfa在),0[上递增，以下给出证明：任取210xx，设12111xxu，22221xxu，则)(11212221222121xxxxxxuu=0)111)((22212121xxxxxx，所以210uu，即1021uu，0log)()