中侨高等数学说课稿关于第一类换元积分法的计算技巧说课稿1

1高等数学关于第一类换元积分法说课稿一、关于教材1、高等数学在高职高专课程设置中的作用和地位高等数学是高职高专工科类或经济管理类各专业的一门重要的基础理论课。通过本课程的学习，可以使学生初步了解和掌握微积分的一些理论和运算方法，为学生学习相关或后续课程奠定必备的数学基础。我院现在采用的教材是由上海高校《高等应用数学》编写组编写的。教学中本着“以应用为目的，以必需够用为度”的原则，在保证知识体系的科学性和完整性的前提下，适度降低了理论性的要求，减少了逻辑证明与理论推导，弱化了运算上的复杂性与技巧性，注重数学概念与实际问题的紧密联系，突出数学应用与创新思维的培养，充分体现高职的教学特色。2、本节在高等数学课程中的作用与内容上的前后联系一元函数积分的概念，计算和应用是本课程的一个重点，而换元积分法是最常用的两种积分法之一。本节内容是在学生学习了不定积分的概念、性质和基本积分公式的基础上进行的。通过这节内容的学习，学生可以处理更多类型的积分题目，并为后面定积分换元积分法的学习和应用打下基础。二、对学生的要求和希望达到的目标学习换元法之前，要求学生理解原函数和不定积分的概念，了解导数运算和不定积分运算之间的逆运算关系，掌握不定积分的性质，熟练掌握不定积分的基本公式。针对学情的很大差异，利用“分层次教学法”，对不同水平的学生设置两个不同的学习目标。对基础较好，对数学有很大学习兴趣和热情的同学，希望通过本节的学习，熟练掌握变量替换的方法，能熟练应用基本公式推广之后的形式。而基础薄弱的同学能理解变量替换思想，处理常见形式的换元积分题目，达到基本要求即可。三、课堂教学设计﹡通过引例导入法开始本节新的教学内容﹡对引例.sin22dxxx进行详细的分析﹡总结归纳解题过程中的四个步骤，得出第一类换元法的定理﹡通过举例和课堂练习互动进一步掌握第一类换元法﹡小结四、具体教学过程1.从复合函数求导法则谈起1）不定积分是求导运算的逆运算。这就启示我们从求导法则中寻求积分的方法：对于函数sinyu，如果u是自变量，那么函数sinyu的导数cosyu；如果u不是自变量，而是自变量x的函数，比如2ux，【问】那么y【答案】（22cosxx）2）如果u是自变量，那么cossinuduuc；如果u不是自变量，而是自变量x的函数，比如2ux，【问】cossinuduuc是否仍然成立？2【答案仍然成立.∵左=222cos()2cosxdxxxdx；右=2sinxc，而右端的导数22(sin)2cosxcxx，∴左=右.】3）上面的结果告诉我们：在不定积分基本公式中如果积分变量不是自变量x，而中间变量u（设(),()uxx连续），那么公式仍然成立。如：uueduec；sincosuduuc等。【注】有了这个结果，我们就可以将一些不能直接套用基本公式的积分，通过变量代换化成基本公式的形式而求得。2．引例分析：考察例1：.sin22dxxx分析：显然这个积分不是可以利用性质和基本积分公式直接解决的。引导学生观察被积函数的构成特点，的函数的导数222---sin---2xxxx即被积函数的两个因子有一个联系的纽带2x。所以，首先可以通过形式的变化，得到下面这一关键结果：.sin)(sinsin222222dxxdxxxdxxx此时，通过变量代换，比如设2xu，上面积分可改写为：Cuuducossin基本公式，再将2xu代入结果，得到.cossin222Cxdxxx【归纳】。整个解题过程包括四个步骤：被积函数恒等变形——变量替换——按基本积分公式求积分——变量回代。再看一例：例2：dxxx1cos12CxCuuudxdxdxxxdxxxxuxu1sinsincos11cos)1(1cos1cos1:112回代公式令变形解33．第一类换元积分法定理以上解题过程就是第一类换元积分法。一般地有如下定理：定理1：设F(u)为f(u)的一个原函数，即：CuFduuf)()(，)(xu可导，则[()]()()[()]fxxdxfxdxFxC.【选学证由于()()Fufu，由复合函数的求导法则得()()dFxFuxdx()()()fuxfxx这表示Fx是()fxx的一个原函数，从而[()]()()[()]fxxdxfxdxFxC】【注】通过定理的推导证明，使学生加深积分计算中变量替换的理解，明确了把基本公式中积分变量x换成可导函数)(xu后公式仍能成立，从而扩大了基本积分公式的应用范围。例如，由基本积分公式cossinxdxxc可以推出cos(3)(3)sin(3)xdxxccos()()sin()xxxedeec等等。【归纳】第一类换元积分法求不定积分的步骤可表示为如下的一串表达式()gxdxfxxdxfxdx()fudu()FuCFxC应用时关键的一步在于将被积表达式()gxdx凑成两部分：其中一部分由xdx凑成dx；剩下的一部分为fx，因而这种方法也称为凑微分法。方法熟练后，虚线框部分可以省略，不必再设()ux，而是把因子()x默记成u，直接套用积分公式即可。4．课堂练习环节。教学互动，进一步使学生掌握第一类换元积分法例3∶dxex12【分析】：被积函数是由两层简单函数复合而成的复合函数。对照基本公式，4若dx能凑成12)12(xd，即凑出内层函数，就可以换元后利用基本公式了CeCeduexdexxedxexuuxxx121-2xu1-2xu1212122121211)(221d)1(221:回代公式变形（凑微分）解练习：dxx5)25(。（提问结果）例4：dxxx1sincos【提示】cosxdx可以凑成(sin)(sin1)dxdxCxCuduuxdxdxxxdxxx1sinlnln1)1sin(1sin1)1sin(1sin11sincos:解例5：.ln321dxxx【提示】1dxx可以凑成1(ln)(23ln)3dxdxCxCuduuxdxdxxxdxxxln323232131)ln32(ln32131)ln32(ln32131ln321:解例6：.sin2dxx【提示】被积函数为三角函数，直接凑微分行不通时，可以先利用三角公式21cos2sin2xx进行恒等变形，然后再进行凑微分。5Cxxxdxxdxxdxx2sin4121d(2x)]2cos21dx[21)2cos1(2122cos1sin:2解相应练习：P145/2--19),23).解题快的同学自行加练课后题3。——个人指导，提问学生关键步骤和结果。布置练习P145/2--8),10），22),24),26).安排5人各做一题，到黑板前板书，由老师归纳题目特点，进行方法总结。5．小结1）第一类换元积分法是与复合函数求导法则相对应的一个法则，运用第一类换元积分法的关键是凑微分()()xdxdx2）基本积分公式中积分变量x换成可导函数)(xu后公式仍能成立，从而扩大了基本积分公式的应用范围。3）利用第一类换元积分法求不定积分，需要一定的技巧，比较灵活，常常要用到下列凑微分公式，熟悉它们非常有用：1()dxdaxba(0)a；21()2xdxdx；12()dxdxx()xxedxde；1(ln)dxdxx；211()dxdxx；sin(cos)xdxdxcos(sin)xdxdx；221sec(tan)cosdxxdxdxx；221csc(cot)sindxxdxdxx；21(arcsin)1dxdxx；21(arctan)1dxdxx6．布置作业：P145/2--6,7),13),17),25).