上海海事大学物理Chp_03.

第3章刚体力学基础上海海事大学物理教研室大学物理学第3章刚体力学基础第3章刚体力学基础什么因素影响物体转动的状态？如何运动？如何旋转？轮为什么不倒下？与物体本身结构有关与物体所处状态有关第3章刚体力学基础主要任务：研究物体的转动，及转动状态变化的规律。刚体(rigidbody)：在外力作用下不产生形变的物体(无数个连续分布的质点组成的质点系，理想模型)。组成刚体的每个质点称为刚体的一个质量元(elementmass)。每个质量元都服从质点力学规律。特点：任意两点间的距离始终保持不变质点质点系刚体集合特例转动(特例:定轴转动)平动平动＋转动运动§3-1刚体运动的基本形式第3章刚体力学基础§3-1刚体运动的基本形式§3-1刚体运动的基本形式第3章刚体力学基础一、平动和转动1.平动(translation)刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。2.转动(rotation)刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴(rotationaxis)。定轴转动：转轴固定不动的转动。ABABAB§3-1刚体运动的基本形式第3章刚体力学基础二、描述刚体转动的物理量为什么用角量描述定轴转动？刚体定轴转动的特点：1.转动平面垂直于转轴。2.转动平面上各点均做圆周运动，角量相同，线量不同。3.定轴转动刚体上各点的角速度矢量的方向均沿轴线。转动平面：定轴转动刚体上各质点的运动面§3-1刚体运动的基本形式第3章刚体力学基础角速度大小：tdd角速度的方向：右旋前进方向角坐标:d,角位移:Prad)(弧度单位：)srad(11秒弧度单位：线速度与角速度之间的关系：rvv角加速度矢量：tdd1.基本物理量nrrrrtva2dtddtddd)srad(22秒单位：弧度§3-1刚体运动的基本形式第3章刚体力学基础注意：、是矢量，在定轴转动中由于轴的方位不变，故用正负表示其方向。在刚体作匀加速转动时，相应公式如下：2212020200ttt刚体定轴转动的运动学中所用的角量关系及角量和线量的关系如下：2.定轴转动中的基本关系式ttdd),(22ddddtt22nrrvararv§3-1刚体运动的基本形式第3章刚体力学基础飞轮30s内转过的角度22020t例一飞轮半径为0.2m、转速为150r·min-1，因受制动而均匀减速，经30s停止转动.试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后t=6s时飞轮的角速度；（3）t=6s时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度.解（1）,sradπ510.0t=30s时，设.飞轮做匀减速运动00时，t=0s105πrads302πrads62(5π)2(π6)75πrad§3-1刚体运动的基本形式第3章刚体力学基础（2）s6t时，飞轮的角速度0t（3）s6t时，飞轮边缘上一点的线速度大小rv该点的切向加速度和法向加速度ar转过的圈数r5.37π2π75π2N2nar11π(5π6)rads4πrads6220.24πms2.5ms22π0.2()ms0.105ms62220.2(4π)ms31.6ms§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础§3-2定轴转动定律转动惯量§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础一、对转轴的力矩FrM单位：N·mFroz//FFdzM在垂直于转轴的平面内，外力与力线到转轴的距离d的乘积定义为对转轴的力矩(moment)。FFrM大小:sinFrM方向:右旋前进方向Fr注：有两种力不产生力矩：1、力的作用线通过转轴；2、力平行与转轴§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础二、定轴转动定律把刚体看作一个质点系iiiiamfFiiiiiiiarmfrFriiiiiiiarmFrfr加速度：iniiaaaimoirziFif合内力矩0合外力矩iizFrMiniiiiizarmarmM§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础iniiiiizarmarmM其中：0iniarkrkarariiiii290sin)(2iizrmM2iirmJ转动惯量：转动定律：JMz刚体定轴转动定律(lawofrotation)：刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础1.定义2iiiJmr刚体对定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该质点到转轴垂直距离的平方之积求和。2iiiJmrzimir刚体——不变质点组单位：千克.米2三、转动惯量(momentofinertia)§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础2.物理意义----是物体在转动中惯性大小的量度。比较：maFm----描述质点惯性的大小JMzJ----描述刚体转动惯性的大小§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础3.转动惯量的计算方法①质量离散分布2iiiJmr②质量连续分布：质量元md2dJrm：质量线密度：质量面密度：质量体密度dmdS面分布dl线分布体分布dVommdldSdV§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础刚体的总质量(同分布Mm,JMJm)4影响J的因素刚体质量分布(同m,J中空J实)转轴的位置转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体的质量、质量分布以及转轴的位置有关。§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础例3-1.由长l的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过A垂直于该平面的轴的转动惯量。llllAmm2m3m4m5222)2)(54()2(32lmmlmmlJ232ml思考：A点移至质量为2m的杆中心处J=?解：由定义式iiimrJ2§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础例3-2.一长为L的细杆，质量m均匀分布，求该杆对垂直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。解:(1)轴过中点22223231dLLLLxLmxLmxmxmrJdd222331218831mLLLLmLoxmdx(2)轴过一端端点mxmrJdd222331031mLLxLmxLMxLd022L2Loxmdx§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础例3-3.求质量m,半径R的圆环对中心垂直轴的转动惯量。解:圆环上取微元dmmrJd2mmR02dmRlRmRJR2π202dπ2另解2mRJ1=mR2+m1R2222π2xRRmmRJ思考1.环上加一质量为m1的质点,J1=?RO思考2.环上有一个x的缺口，J2=?xROdmm1§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础例3-4.求质量m,半径R的均匀圆盘对中心垂直轴的转动惯量。P.77例3-3解:圆盘上取半径为r宽度dr的圆环作为质量元dmmrJmRJdd22环SmddrrRmdπ2π2rrRmrJdπ2π22rrRmRd2032221mRROrdrO§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础几种常见刚体转动惯量圆环转轴通过中心与盘面垂直r2mrJ圆环转轴沿直径r221mrJ§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直221mrJr2r1圆筒转轴沿几何轴)(212221rrmJr§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础lr圆柱体转轴沿几何轴221mrJlr圆柱体转轴通过中心与几何轴垂直12422mlmrJ§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础l细棒转轴通过中心与棒垂直122mlJl细棒转轴通过端点与棒垂直32mlJ§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础2r球体转轴沿直径522mrJ2r球壳转轴沿直径322mrJ§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础平行轴定理:若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc，则刚体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是2mdJJczmRJzJc221mRJc2221mRmRJz223mR正交轴定理yxzJJJ对平面刚体ozyx§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础例3-5.计算钟摆的转动惯量。(已知：摆锤质量为m，半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r)rO解：摆杆转动惯量22134231mrrmJ摆锤转动惯量22222219321mrrmmrmdJJc2222166521934mrmrmrJJJ§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础5.回转半径(radiusofgyration)设物体的总质量为m，刚体对给定轴的转动惯量为J，则定义物体对该转轴的回转半径rG为：mJrGGr2GmrJ由此得:z意义：设等价于物体质量集中在回转半径为rG的圆环上的刚体对中心轴的转动惯量。§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础作业课本P1023-1、3-3、3-6§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础四、转动定律的应用举例M的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的力矩为正。1.是矢量式（但在定轴转动中力矩只有两个方向）。2.M、J、是对同一转轴而言的。JMz§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础例3-6.质量为M=16kg的实心滑轮，半径为R=0.15m。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，求：(1)由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。(2)绳子的张力。解：对轮、物受力分析如图2sm5881082Mmmgam5.215212122athN4051621TmMmmgTMgNRaMRJTR221由转动定律maTmg由牛顿定律§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础JRTRTamgmTamTgm12111222RaMRJ221JRTRTamTamTgm1211222RaMRJ221变形问题：mMm1m2RT1T2m1gm2gm2m1MgNm2MT1T2m2gRm1m1gN1N2Mg§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础JRTRTamgmTamTgm22112222111122112222112121RaRaRMRMJM1mm1m2T1T2m1gm2gm2m1R1R2M2如何列动力学方程？§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础1111122222111222JRTTRJTRRTamgmTamTgm2211222221112121RRaRMJRMJmm1m2T1T2m1gm2gm2m1R1R2M2M1T§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础例3-8.一半径为R、质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为0，绕中心O旋转，问经过多长时间圆盘才停止。(设摩擦系数为)ORdrr解：考察半径为r宽度为dr的圆环rmgrFMddd22d2dπ2πdRrmrrrRmm22d2dRrgrmMmgRRrmgrMMR32d2d022§3-2定轴转动定律转动惯量第3章刚体力学基础tJMd