中南大学工程硕士(工程数学)试卷

一、填空题1.若函数()tan3fxxx,写出Newton迭代公式...)2,1,0(3sec3tan21kxxxxxkkkkk解：3sec)('2xxf，牛顿迭代公式为)(')(1kkkkxfxfxx2.建立最优化问题数学模型的三个要素是：目标函数、决策变量、约束条件；3.随机变量X服从参数为的指数分布即分布密度为();0xfxex,X是样本均值，则2~nX；4.写出矩阵468=6101381321A的乔勒斯基（Cholesky）分解矩阵L=；Cholesky分解要求矩阵是实对称和正定的，基本思想是分成一个下三角矩阵与其转置的乘积：11111213212222233132333346800=61013008132100TllllALLllllllll所以2111142ll，2111211263llll，221122222101llll，.......就可以算出所有的项5.设由一组观测数据22,,2,1),,(iyxii计算得,125,200,150xxLyx,95,75yyxyLL则y对x的线性回归方程为,其误差估计为；线性回归方程的公式是ybxa，其中122217522*150*2001.33412522*150niiiniixynxybxnx，2001.334*1500.1aybx所以回归方程是1.3340.1yx误差n2es残差平方和，貌似现有条件求不出具体值6．设2)(3xxxf，则差商]3,2,1,0[f13031]3,2[]2,1[20]2,1[]1,0[30]3,2,1[]2,1,0[ffffff（差商解释见第二大题）；7．对方程()ln(2)0fxxx，给出迭代计算公式，使其收敛到方程的正数根第二套第一题，3)2)](2ln([1kkkkkkxxxxxx；8．已知函数)(xfy过点(,),0,1,2,,iixyin，[,]ixab，设函数)(xS是()fx的三次样条插值函数，则)(xS在],[ba内的二阶导数是连续的。二、已知)(xf的数据如表：x-1023)(xf3-215选用适合的插值法求)(xf的三次插值多项式，计算)8.2(f的近似值，给出误差估计式。解：用三次牛顿插值法(ABC....表示表格的位置，方便看清楚怎么算差商)xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商-1A3F0B-2G5BAGFK2C1H5.1CBHGO35.6CAOKQ354DCIH35.2DBPO1DARQDIPRS2.8E-4.462J31.27EDJIT1375.29ECTPU1086.10EBURV9674.3EAVS因此，三次牛顿插值多项式为：)2()1()1(35.6)1(5))()((*))((*)(*)(3xxxxxxCxAxBxSAxBxQAxKxN于是462.4)8.2()8.2(3Nf误差估计式：574.62.0*8.0*8.2*8.3*9674.3)38.2(*)28.2(*8.2*)18.2(*]8.2,3,2,0,1[)3)(2()1](,3,2,0,1[)(3fxxxxxfxR三、设有5种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗效。假定将30个病人分成5组，每组6人，令同组病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到痊愈所需时间，得到下表的记录：试检验不同药物对病人的痊愈时间有无差别？（取05.0）答：检验假设543210:H543211,,,,:H全不相等已知：6,554321nnnnns，10665112jniijjX，30n药物治愈所需天数和ix平方和2ix123455，8，7，7，10，114，6，6，3，5，66，4，4，3，4，37，4，6，6，3，49，3，5，7，6，64830243036408158102162236总和1681066168,36,30,24,30,48..5.4.3.2.1.TTTTTT2.1253016810662TS2.553016863630243048222222AS70ATESSS方差来源平方和自由度均方（F值）F比（P值）因素A55.24（s-1）13.8（=55.2/4）4.929（=13.8/2.8）误差7025（n-s）2.8（=70/25）总和125.229因为76.2)25,4(05.0F，P=4.9292.76，所以认为不同药物对病人的痊愈时间有显著差别。四、某厂利用劳动力8个、电力4千瓦、煤2吨可以生产甲产品1吨，获利20万元；利用劳动力3个、煤1吨可以生产乙产品1吨，获利8万元；利用劳动力2个、电力3千瓦可以生产丙产品1吨，获利6万元；工厂现有劳动力250个、电力150千瓦、煤50吨。（1）建立使工厂获利最大的生产安排计划数学模型；（2）将模型标准化；利用单纯形法求解，列出求解过程。答：（1）设该厂每天生产甲、乙、丙产品x、y、z吨，依题意可得约束条件：00,50215034250238zyxyxzxzyx利润目标函数：zyxF6820max（2）标准化以后的模型0,,,,,50215034250238*0*0*06820maxkhjzyxkyxhzxjzyxkhjzyxF初始单纯型表格为：jcxyzjkhCBXBb20860000j250832100250/8=31.250k5021001050/2=250h150403001150/4=37.5Z0000002086000经过三步迭代以后，其最优解为50,50,0321xxx，最优值为700Z。五、证明含有1n个插值节点(0,1,,)kxkn的插值型求积公式0()()nbkkakfxdxAfx的代数精度至少是n。证明：dxxxxxxxnxfdxxLxfxfAdxxfnbanbanbankkk))...()(()!1())(()]()([)()(1010因为插值的条件是],[)()1(baCxfn，所以由上式知求积公式的代数精度必定会大于等于n。六、为了控制生产过程，需要对产品质量进行检验，当产品的一等品率达到95%时，生产过程是稳定的，现对产品进行适时检验，抽取了200件，结果一等品数为186二等品数为12，不合格品数为2。试问此时生产过程是否稳定)05.0(？解：设这一批产品的二等品数和不合格品数产品为p，我们做假设05.0:05.0:10pHpH做统计量0816.4)200141(*1405.0*20014)1(nmmnpmU因为645.105.0Z，样本观测值大于了645.105.0Z，落入了拒绝域中，所以此时生产过程是不稳定的。七、设方程组为1232057392146017xxx（1）对任取的初始迭代点，直接使用Jacobi迭代法解该方程组，是否收敛？说明原因。（2）对方程组进行适当调整，使得用Jacobi方法、Gauss-Seidel迭代法求解时收敛。（3）取(0)(0,0,0)Tx，用Gauss-Seidel迭代法在（2）的基础上计算两步迭代值(1)x，(2)x。此题类似于第二套的第三大题，在那里讲得比较详细解：（1）先求1232057392146017xxx的迭代矩阵，为5002320996001B，因为61B（行和范数，每行元素绝对值之和的最大值），所以对任取的初始迭代点，直接使用Jacobi迭代法解该方程组，不会收敛。（也可以直接说是因为系数矩阵不是严格对角占优矩阵，意思一样）。（2）调整为1236017392142057xxx，类似第二套的第三大题用Jacobi方法求解。Gauss-Seidel迭代法与Jacobi方法类似，只有一点不同，就是提前使用了(1)kix！Jacobi方法的迭代格式：1(1)()()11()/inkkkiiijjijjiijjixbaxaxaGauss-Seidel方法的迭代格式：1(1)(1)()11()/inkkkiiijjijjiijjixbaxaxa（3）将(0)(0,0,0)Tx代入1(1)(1)()11()/inkkkiiijjijjiijjixbaxaxa进行计算。