中国人民大学附中特级教师梁丽平高考数学综合能力题30讲第26讲建构数列模型的应用性问题

Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！数学高考综合能力题选讲26建构数列模型的应用性问题100080北京中国人民大学附中梁丽平题型预测数列作为特殊的函数，在高中数学中占有相当重要的位置，涉及实际应用的问题广泛而多样，如：增长率、银行信贷等．解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段，注意其间的递推关系，建立出等差、等比、或递推数列的模型．建立数列的递推关系来解题将有可能成为高考命题革新的一个方向．范例选讲例1．某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2000年底全县的绿地已占全县总面积的30%．从2001年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16%的原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的4%又被侵蚀，变成了沙漠．（Ⅰ）在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全县绿地面积超过80%？（Ⅱ）至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的60%？讲解：本题为实际问题，首先应该读懂题意，搞清研究对象，然后把它转化为数学问题．不难看出，这是一道数列型应用问题．因此，我们可以设：全县面积为1，记2000年底的全县绿地面积占总面积的百分比为0a，经过n年后全县绿地面积占总面积的百分比为na，则我们所要回答的问题就是：（Ⅰ）是否存在自然数n，使得na80%？（Ⅱ）求使得na60%成立的最小的自然数n.为了解决这些问题，我们可以根据题意，列出数列na的相邻项之间的函数关系，然后由此递推公式出发，设法求出这个数列的通项公式．由题可知：0330%10a，254541%16%411nnnnaaaa所以，当1n时，254541nnaa，两式作差得：Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！1154nnnnaaaa又100004441152525510aaaaa，所以，数列1nnaa是以10110aa为首项，以54为公比的等比数列．所以，112100nnnnnaaaaaaaa14(1())3414105()41052515nn由上式可知：对于任意Nn，均有54na．即全县绿地面积不可能超过总面积的80%．（Ⅱ）令53na，得42()55n，由指数函数的性质可知：4()5ngn随n的增大而单调递减，因此，我们只需从0n开始验证，直到找到第一个使得42()55n的自然数n即为所求．验证可知：当0,1,2,3,4n时，均有42()55n，而当5n时，42()0.3276855n，由指数函数的单调性可知：当5n时，均有42()55n．所以，从2000年底开始，5年后，即2005年底，全县绿地面积才开始超过总面积的60%．点评：（Ⅱ）中，也可通过估值的方法来确定n的值．例2．某人计划年初向银行贷款10万元用于买房．他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4％，且每年利息均按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），问每年应还多少元（精确到1元）？讲解：作为解决这个问题的第一步，我们首先需要明确的是：如果不考虑其它因素，同等款额的钱在不同时期的价值是不同的．比如说：现在的10元钱，其价值应该大于1年后的10元钱．原因在于：现在的10元钱，在1年的时间内要产生利息．在此基础上，这个问题，有两种思考的方法：法1．如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值，与这个人还款的价值总额应该相等．则我们可以考虑把所有的款项都转化到同Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！一时间（即贷款全部付清时）去计算．10万元，在10年后（即贷款全部付清时）的价值为1051014%元．设每年还款x元．则第1次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为914%x；第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为814%x；……；第10次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x元．于是：105×(1+4％)10=x(1+4％)9+x(1＋4％)8＋x(1＋4％)7+…+x由等比数列求和公式可得：105101.04-1101.04=1.04-1x．其中10102341.04=(1+0.04)=1+100.04+450.04+1200.04+2100.04+1.4802所以，5101.48020.04=123300.4802x法2．从另一个角度思考，我们可以分步计算．考虑这个人在每年还款后还欠银行多少钱．仍然设每年还款x元．则第一年还款后，欠银行的余额为：51014%x元；如果设第k年还款后，欠银行的余额为ka元，则114%kkaax．不难得出：10a＝105×(1+4％)10－x(1+4％)9－x(1＋4％)8－x(1＋4％)7－…－x另一方面，按道理，第10次还款后，这个人已经把贷款全部还清了，故有100a．由此布列方程，得到同样的结果．点评：存、贷款问题为典型的数列应用题，解决问题的关键在于：1．分清单利、复利（即等差与等比）；2．寻找好的切入点（如本题的两种不同的思考方法），恰当转化．例3．将四边形的每条边都涂以红、黄、蓝三种颜色中的一种，要使得相邻的边的颜色互不相同，有多少种不同的涂色方法？讲解：本题从表面上看是排列组合的问题，与数列没有关系，但直接考虑并不简单，为此，我们考虑更一般的问题（即对于n边形的涂色问题），并建构如下递推数列的模型：设n边形（各边依次为12,,,naaa…）满足条件的涂色方法有nb种．考虑n＋1边形的涂法：从边1a开始考虑，对于1a，有3种涂法；对于边2a，由于要不同于边1a，故Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！有2种涂法；……；对于na，有2种涂法；最后考虑边1na，如果不考虑这条边是否与边1a同色，则也应该有2种涂法，故涂法种数为32n．上述涂色的方法中，包括两种，第一种是边1na与边1a的颜色不同，这种涂色方法恰好符合题意，其总数应该为1nb；第二种是边1na与边1a的颜色相同，对于这一种涂色方法，如果我们把边1na与边1a看作是同一条边，则其涂色方法也满足题目中对于n边形的要求，故涂色方法总数应该为nb．由此，不难得出：132nnnbb．所以，11132nnnbb．另一方面，显然有33216b．所以，212121212353321233213232323222kkkkkkkkbbbbbbbb222213222kkkkbb，,2kNk且显然，418b．点评：本题的难点在于递推数列模型的建立．一般来说，数列型应用题的特点是：与n有关．高考真题1.（1999年全国高考）右图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出．（Ⅰ）输入带钢的厚度为，输出带钢的厚度为，若每对轧辊的减薄率不超过0r．问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？(一对轧辊减薄率输入该对的带钢厚度从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度)（Ⅱ）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20％的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm．若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为kL．为了便于检修，请计算123LLL、、并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！轧锟序号k1234疵点间距kL(单位：mm)16002.(2001年全国高考)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少51．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，估计今后的旅游业收入每年会比上一年增加41．（Ⅰ）设n年内（本年度为第一年）总投入为na万元，旅游业总收入为nb万元，写出nnba,的表达式．（Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？3.（2002年全国高考）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？[答案与提示：1．（Ⅰ）至少需要安装不小于0lglglg1r的整数对轧辊；（Ⅱ）1233125,2500,2000LLL．2．（Ⅰ）nna)54(14000，1)45(1600nnb；（Ⅱ）5年．3．每年新增汽车数量不应超过3.6万辆]