中国人民大学附中高考数学综合能力题30讲第12讲复数的运算与几何意义

Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！数学高考综合能力题选讲12复数的运算与几何意义100080北京中国人民大学附中梁丽平题型预测从近几年的高考试题看，复数部分考查的难度在下降，题量也在减少，考查的内容主要集中在三个方面：一、复数的运算．包括代数形式及三角形式的计算，复数模、辐角及其主值的计算．二、以复数运算和某些概念的几何意义为核心而形成的数形结合的题目．三、复数与方程的题目．估计今后几年高考试题仍将侧重于复数的概念、运算、复数与三角、复数与几何、复数与不等式等综合型试题．范例选讲例1若复平面内单位圆上三点所对应的复数321,,zzz，满足3122zzz且032iizz，求复数321,,zzz．讲解：当已知复数的模时，往往可以利用复数的三角形式解题．解1：设sincos1iz，sincos2iz，sincos3iz，则由032iizz可得：01cossin0sincos利用1sincos22，可解得：23sin21cos，所以，2313iz．当2313iz时，23132iziz，13221zzz；当2313iz时，23132iziz，13221zzz．Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！若能注意到本题的特点：则可充分利用模的性质，得到下面的解2．解2：由题可知321,,zzz都等于1，又由032iizz得：132ziz，所以，1123zz，所以，3z所对应的点的轨迹为圆122yx与圆1122yx的交点．解之得：2313iz．以下同解1．略．用复数的代数形式去解本题也未尝不可．解3：设fiezdiczbiaz321,,，其中Rfedcba,,,,,，则由题可得：)7(01)6(0)5(2)4()3(1)2(1)1(122222222edfcbeafcdbfaedcfedcba解这个6元方程组，需要较高的技巧，如果能够注意到（2）、（3）、（6）、（7）只与fedc,,,相关，则可将此四个方程联立，解得：21e，所以，23f．下略．点评：复数的代数形式、三角形式、模的性质是解决复数问题的3大支柱．例2设复数21,zz满足：01412222121zazzz，0a，它们在复平面内分别对应于不同的点A、点B，O为坐标原点，若4122az，求使得△AOB有最大面积时的a的值，并求出最大面积．讲解：由于AOBzzAOBOBOASAOBsin21sin2121，所以，首先应结合题目条件，考虑1z与2z的关系．Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！首先，02z，所以，0141221221azzzz，解这个关于21zz的方程，得：2121aizz．所以，2121221aaizz，aAOBtan，所以，21sinaaAOB．所以，AOBzzAOBOBOASAOBsin21sin21212221412121aaaa2244aa222242442aaa322234422161aaa93．等号当且仅当2242aa，即332a时取得．此时，△AOB取得最大面积，为93．点评：正确理解复数运算的几何意义是数形结合和实现问题转化的关键．高考真题1．（1994年全国高考）已知z＝1＋i,（Ⅰ）设ω＝z2＋3z－4,求ω的三角形式;；（Ⅱ）如果1zzbazz22＝1－i,求实数a,b的值.Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！Doc521资料分享网(Doc521.com)–资料分享我做主！2．（1995年全国高考）在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O(O为原点),已知Z2对应复数z2＝1＋3i,求点Z1和Z3所对应的复数．3．(1997年全国高考)已知复数z＝ii2222,2123,复数zw,z2w3在复数平面上所对应的点分别为P,Q,证明△OPQ是等腰直角三角形(其中O是原点).[答案与提示：1．（Ⅰ）45sin45cos2i；（Ⅱ）2,1ba．2．iz2132311；iz2132313．3．略．]