不动点定理的应用

0不动点定理的应用＊＊＊（＊＊＊大学＊＊＊学院,＊＊（地点）***（邮编））摘要：巴拿赫空间中的不动点定理是泛函分析中的一个重要定理,本文简要介绍了不动点思想及相关定理，对巴拿赫不动点定理做了一些简单的推论，应用不动点思想解决数列通项公式、数列极限、微积分方程解的存在性、积分中值定理等问题。关键词：巴拿赫空间；不动点；思想；不动点定理；应用FixedpointtheoremsforapplicationLuxuanLI(Xi'anUniversityOfArchitectureAndTechnology,CollegeofScience，Xi’an710072,China)Abstract:FixedpointtheoreminBanachspaceisanimportanttheoreminfunctionalanalysis,thispaperbrieflyintroducestheideaoffixedpointandrelatedtheorem,fixedpointtheoremofBanachtodoanumberofsimpleinference,byusingthefixedpointthoughttosolvethegeneralformulaofsequence,sequencelimit,theexistenceofsolutionsfornonlinearintegral,integralmeanvaluetheoremproblems.Keywords:Banachspace;Fixedpoint;Thought;Fixedpointtheorem:Application0引言泛函分析是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子和极限理论，在20世纪40年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。在泛函分析中，许多分散在各个数学分支中的事实都得到了统一的处理，例如隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理，在泛函分析中都归结为一个定理——不动点定理。这正是抽象的结果。不动点定理实际上是算子方程Tx=x的求解问题，是分析学的各个分支中存在和唯一性定理的重要基础，它是关于具体问题解的存在唯一性的定理，其中巴拿赫不动点定理，亦称压缩映射原理，它提供了线性方程解的最佳逼近程序，给出了近似解的构造，在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛的应用，在现代数学发展中有着重要的地位和作用。通过对它的学习我们重新对所学的一些知识有了进一步的理解。本文给出了巴拿赫不动点原理在数学分析、微分方程中的应用。1巴拿赫不动点定理称完备的赋范线性空间为巴拿赫空间。定义1.1.1设X是任意给定的完备的距离空间,如果有映射:,TXX存在常数,01,使得(,)(,),(,)TxTyxyxyX则称T是一个压缩映射.定义1.1.2对任给的度量空间(,)X及映射:,TXX.如果存在*xX使得**,Txx则称*x为映射T的不动点.定义1.1.3（Cauchy列）给定(,)X,{},nxX若对任取的0,有自然数N,使得对,,ijN都成立(,),ijxx则称序列nx是Cauchy列.定义1.1.4（完备度量空间）给定(,)X,若X中任意一Cauchy列都收敛,则称它是完备的.1.2巴拿赫不动点定理的内容定理1.2.1（Banach不动点原理）设X是完备的距离空间,T是由X到X的自身的映射,并且对于任意的,xyX,不等式(,)(,)TxTyxy成立,其中是满足不等式01的常数.那么T在X中存在唯一的不动点,即存在唯一的xX,使得Txx.证：分两部分来证明该定理先证明不动点的存在性在X任取一定点0x,并令10211,,,,.nnxTxxTxxTx我们证明是X中的一个基本点列.事实上12010100(,)(,)(,)(,);xxTxTxxxxTx223121200(,)(,)(,)(,);xxTxTxxxxTx一般地,可以证明100(,)(,)nnnxxxTx(1,2,3)n于是1121(,)(,)(,)(,)nnpnnnnnpnpxxxxxxxx),()(0011Txxpnnn1).,(1),(1)1(0000TxxTxxnpn()0()Pv非负性根据假定,01,故0(),nn于是nx是基本点列.由于X完备,故nx收敛于X中某一点.x且由不等式(3)可知,T是连续映射.在1nnxTx中令n,得到,xTx因此x是T的不动点.再证明不动点的唯一性.另有,yX使,yTy则(,)(,)(,),xyTxTyxy由于01,故(,)0xy,即xy,唯一性成立证毕定理1.2.2（压缩映射原理）任给数列,nx若有常数:01,kk使得对一切的,nN都有11,nnnnxxkxx则数列nx收敛.证只需证明nx是Cauchy列,从而说明nx收敛为此,对任意的,npN考虑11011npnpknpnkkknknxxxxrxx=1010011nnpnrrrxxxxrr所以nx是Cauchy列,从而nx收敛.到此整个文章所需要的基本定理及概念叙述完毕.下面将主要讨论其在数学的其它分支中的应用.2不动点在数列中的应用2.1不动点思想在求数列通项公式中的应用命题2.2.1若函数()fxaxb=+，0x为()fx的不动点，{}na满足()1nnafa+=则{}0nax-是以a为公比的等比数列。命题2.2.2若函数()()0,0axbfxcadbccxd+=??+，数列{}na满足()1nnafa+=则有：（1）若()fx有两个不动点,pq，则数列nnapaq禳-镲睚-镲铪是等比数列。（2）若()fx只有一个不动点p，则数列1nap禳镲睚-镲铪是等差数列。证明（1）,pq是()fx的不动点，则,pq分别满足()20,cpdapb+--=()20cqdaqb+--=，于是()()11nnnnnnnnaabpapcabpdapcadaabaqaqcabqdqcad+++--+--+==+--+--+()()()()()()22nnapcapcpdapbaqcaqcqdaqb轾---+--臌=轾---+--臌nnapapcaqcaq--=?--故数列nnapaq禳-镲睚-镲铪是等比数列。（2）p是()fx的唯一不动点，那么p满足()20cpdapb+--=且()()22cxdaxbxp+--=-。于是11111nnnnnaabapapappcad+-=-+----+()()()2nnnncadaabapcabpdap+--=轾-+--臌()()()()2nnnapapcapap-=轾---臌1apc=-故列1nap禳镲睚-镲铪是等差数列。例1.已知113,21,nnaaa+==-求数列{}na的通项公式。解：设()21fxx=-，则()fx的不动点为01x=，故{}1na-是以2为公比的等比数列，而13a=，所以11222nnna--=?，故21nna=+例2.已知111,21nnnaaaa+==+，求数列{}na的通项公式。解：设()21xfxx=+，则()fx有唯一的不动点0x=，故1na禳镲睚镲铪是等差数列，1112nnaa+-=，而11a=，故()1121nna=+-，从而可得121nan=-。2.2不动点在求数列极限中的应用基本思想：通过对数列构造一个新的函数1()(1,2,3)nnxfxn,使其在对应区间保持连续且可导,其导数满足0()1fx.再使用Rolle中值定理证明所构造的函数是压缩映射的,这就意味着()fx2在区间上有不动点*x,即**().xfx且该点是唯一的.例1设1111,(),2nnnaxaxxx试证{}nx收敛,并求极限.证按照上述基本思想进行证明求解依题设构造函数1()(),2afxxx易见()fx在(0,)连续且可导.由于0,nx故当0x时21()(1)02afxx则由11xa知211()(1)22afxx现在考虑:'111()()()nnnnnnxxfxfxfxxx112nnxx从而1()nnxfx为压缩映射.由定理1.2.2知{}nx收敛.下求该数列极限,设其极限为*limnnxx,则由()fx的连续性得**1limlim()()nnnnxfxxfx即***1(),2axxx得*xa和*xa（舍去）.3不动点定理在微积分方程中的应用3.1不动点定理证明微分方程解的存在性和唯一性在实际生活中需要求解一些复杂的方程,但在求解之前必须保证该求解是有意义的.因此判断方程解的存在性起到很大的意义.而用分析的方法证明存在性定理比较困难,下面就给出较为简单的证明方法.定理4.1设二元函数(,)fxy在区域[,](,)ab上处处连续,且处处关于y的偏导数(,)yfxy存在.存在常数mM使得0(,),ymfxyM那么方程(,)0fxy在闭区间上有连续解()yx,且解是惟一的.证在完备的空间[,]Cab中做映射1:(,),TTfxM下只需证明T是自身到自身的压缩映射.事实上,对于,[,],mnCab则由微分中值定理对(0,1)使得11()()()()()(,)()(,)mnmmnnTxTxxfxxfxMM11()()[,()(()()](()()mnynmmnxxfxxxxxxM()()(1),[,]mnmxxxabM现令1mM,则01,从而有()()()()()())mnmnTxTxxx即有mnmnTT这就说明T是[,]Cab上的压缩映射,故有唯一的[,]Cab使得T,亦即有(,())0,fxxaxb.例2考察微分方程(,),dyfxydx00.xyy其中(,)fxy在整个平面上连续,此外还设(,)fxy关于y满足利普希茨条件:2121212(,)(,),,,,fxyfxyKyyxyyR其中0K为常数,那么通过00(,)xy微分方程有且仅有一条积分曲线.证原微分方程加上初值条件00xyy等价与下面的积分方程00()(,).xtxyxyftydt取0,使得1.K在连续空间00[,]Cxx内定义映射T：0000()()(,)([,]),xtxTyxyftydtxxx则有001212(,)max[(,()(,())]xxxxTyTftytftytdt0012max()()xxxxKytytdt01212max()()(,)xxKytytKyy由于1K,由压缩映射原理可知存在唯一的连续函数000()([,])yxxxx使得0000()(,).xxyxyftydt3.2不动点定理证明积分方程解的存在性例1设(),Kts是定义在三角形区域,atbast＃＃上的连续函数，则积分方程()()()(),taxtKtsxsdsftl=+ò对任何[],fCabÎ以及0l¹存在唯一的解[]0,xCabÎ。证明：作[,]Cab到其自身的映射T：3()()(),taTxKtsxsdsftl=+ò，则[]12,,xxCab?有()1212,maxatbTxTxTxTxr＃=-()()()12max,tatbaKtsxsxsdsl＃轾=-臌ò()()()12maxatbMtaxsxsl＃?-()()12,Mtaxxlr=-其中()max,atbastMKts＃＃=。易用用归纳法证