不定积分的概念及其性质.

Nove.30Mon.第四章不定积分不定积分的概念及性质；不定积分的换元法；不定积分的分部积分法；有理函数不定积分.微积分产生的原因:1.求物体在任意时刻的速度和加速度；2.求曲线的切线：透镜设计和轨迹的切线方向；3.求最大值和最小值：获得炮弹射程最大的发射角问题；行星离开太阳的最远和最近距离问题；4.微小量的累加：曲线长，曲线围成的面积，曲面围成的体积，物体重心。一元函数积分学基本问题由此引出原函数与不定积分的概念；)()()(,)(.1xfxFxFxf，使得寻找可导函数对于给定函数2.计算诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量的无穷累加问题。由此引出定积分的概念。定积分不定积分NewtonLeibnize公式(17世纪)一个函数的定积分可以通过计算它的原函数而方便的计算出来。原函数的存在性又可以由定积分决定。§1不定积分的概念及其性质原函数及不定积分不定积分的几何意义；基本积分表；不定积分的性质。一.原函数(primitivefunction)与不定积分定义：()()()()()()()()()()(indefiniteintegral)()()()XfxFxFxfxxXdFxfxdxFxfxfxfxfxdxfxfx在区间（有限或无穷）上给定函数，若，使得：，或则称是的一个原函数，的全部原函数称为的不定积分，记作：若存在原函数，也称可积。),(,2xxy例31ax次，所以原函数应为数降低根据求导数时幂函数次23ax)(3ax2x31a的一个原函数。是2331xxy的原函数。也是任意常数且233)(31,131xCCxx问题：(1)原函数是否唯一？(2)若不唯一,它们之间有什么联系？定理：为任意常数。其中所有原函数为的一个原函数，则是设CCxFdxxfxfxF)()()()()()())((xFCxF证明：)(xf的原函数。为即对任意常数)()(,xfCxFC)()()()(xfxGxfxG的另一原函数，即为设再证它是全部原函数。0)()())()((xfxfxFxG则CxFxG)()(即()FxC任何一个原函数总可以由加一个常数得到。任意常数积分号被积函数CxFdxxf)()(被积表达式积分变量原函数存在定理：连续函数一定有原函数.内连续，在区间如果函数Ixf)(都有使内存在可导函数那么在区间,),(IxxFI).()(xfxF例1求.5dxx解,656xx.665Cxdxx解例2求.112dxx,11arctan2xx.arctan112Cxdxx的原函数的图形称为xxfd)(的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.yxo0x的积分曲线.二.不定积分的几何意义。，试求物体下落的规律，初速度为时的位置为已知一物体自由下落，例000vst解：解得则，加速度为,gdtdvgCgtgdttv)(决定，不能任意取，它由初值这里CCgvt000时，0vC0)(vgttv0vgtvdtds又由于dtvgtts)()(010221Ctvgt00)()(yyxfxyxx简单的初值问题(initialproblem)：10)(0Cstst时，00221)(stvgtts三.基本积分表实例xx11.11Cxdxx启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.)1(由不定积分的定义，可知),()(xfdxxfdxd,)(])([dxxfdxxfd,)()(CxFdxxF.)()(CxFxdF结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.基本积分表kCkxkdx()1(是常数););1(1)2(1Cxdxx;||ln)3(Cxxdx说明：,0x,lnCxxdx])[ln(,0xx,1)(1xxx,)ln(Cxxdx,||lnCxxdxdxx211)4(;arctanCxdxx211)5(;arcsinCxxdxcos)6(;sinCxxdxsin)7(;cosCxxdx2cos)8(xdx2sec;tanCxxdx2sin)9(xdx2csc;cotCxxdxxtansec)10(;secCxxdxxcotcsc)11(;cscCxdxex)12(;Cexdxax)13(;lnCaaxxdxsinh)14(;coshCxxdxcosh)15(;sinhCx例求积分.2dxxx解dxxx2dxx25Cx125125.7227Cx根据积分公式（2）Cxdxx11积分表与微分表不同，不能给出基本初等函数的积分公式，而只给出原函数为基本初等函数的积分公式。由导数的运算法则，可得积分的运算法则.四.不定积分的性质可积，设)(),()1(xgxf;)()()]()([dxxgdxxfdxxgxf（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）CxFdxxf)()()()(xfxF或CxGdxxg)()()()(xgxG或])()([xGxF)()(xgxf有不定积分，且即)()(xgxfdxxgdxxfdxxgxf)()()]()([证明：由条件dxxkfxf)()()2(可积，.)(dxxfk（k是常数，)0kCxFdxxf)()()()(xfxF或)(])([xFkxkF)(xkf可积，且即)(xkf.)()(dxxfkdxxkf证明：由条件；例dxxx211)(.解：dxxxx122dxxx21)(；dxxxx)(2121232Cxxx1211211231211211122311Cxxx234522325；例dxxx212)(.解：dxxxx122dxxx21)(；dxxx)(12Cxxx||ln2212；例xdx23tan.解：dxxx22cossindxx2tan；dxxx221coscosdxx)(sec12Cxxtan；例xxdx224cossin.解：xxdx22cossin；dxxx)sincos(2211Cxxcottandxxxxx2222cossincossin解：)(12xxee；例646xxdx.解：64xxdx42211(1)dxdxxxx422111[]1dxdxxxx22421(1)xxdxxxCxxxarctan1331；例dxxxx325327.解：dxxxx32532dxdxx)(3252Cxx)/ln()/(3232528.()(0,)1(1)0(tan)()sin2fxffxfxx例设函数定义于上，并且满足条件，，求。xxf2sin1)(tan解：xxcossin21xxtan2sec2tttftx21)(,tan2则令xxtan2tan12由题设dttttf21)(2于是dtttdt12121Ctt||ln21420)1(f由41C0|,|ln2141)(2xxxxf。，求设例dxxxPaxaxaxaxPnnnnn11110)1()(.9解：(1)1Pxx将函数在处展开得：nnxnPxPxPPxP!)1(!2)1()1()1()1()(2nkkkxkP0)(!)1(dxxxPn1)1(nknkkdxxkP01)()!)1((nknkkdxxkP01)(!)1(()2(2)02(1)(1)ln||!2(2)!kknnnkknPxPxCkknn.,1d1d1.102222BAxxBxxAxxx，求已知例解:221xx22211xxAxA21xB2212xxABA)(120ABA2121BA求导，得等式两边对x小结3.基本积分表(1).5.不定积分的性质.1.原函数的概念：)()(xfxF2.不定积分的概念：CxFdxxf)()(4.求微分与求积分的互逆关系.Hw：p2581(双),2。思考与练习1.证明2.若d)(lnxxfx2提示:xexeln)(lnxfx1Cx221提示:3.若是xe的原函数,则xxxfd)(ln提示:已知xexf)(0Cexfx)(01Cxxf)(lnxCxxxf021)(lnCxCxln014.若;sin)(xA1;sin)(xB1的导函数为则的一个原函数是().;cos)(xC1.cos)(xD1提示:已知xxfsin)(求即B)()(xfxsin)(??或由题意,cos)(1Cxxf其原函数为xxfd)(21CxCxsin5.求下列积分:提示:)()()(222211111xxxxxxxx222212cossincossin)(xx22cscsecxx22cossin22111xx)(2x2x