中国农大数学建模民生杯一等奖论文

1“民生杯”数学建模与计算技术应用大赛承诺书我们仔细阅读了“民生杯”数学建模与计算技术应用大赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。我们的参赛报名号为：15参赛组别（本科、专科或研究生）：本科参赛队员(签名)：队员1：訾海队员2：田凯强队员3：周金辉获奖证书邮寄地址：北京市海淀区清华东路17号中国农业大学2“民生杯”数学建模与计算技术应用大赛编号专用页参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）：竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：3“民生杯”数学建模与计算技术应用大赛目录摘要...............................................................................................................4一、问题分析................................................................................................5二、模型假设和建立.....................................................................................52.1模型假设及变量说明.......................................................................................52.2缺失数据的补充...............................................................................................52.3模型的建立......................................................................................................92.3.1第Ⅰ类模型：逐步回归法.................................................................................92.3.1.1单指标逐步回归模型：............................................................................102.3.1.2多指标逐步回归模型：............................................................................132.3.2第Ⅱ类模型：聚类回归法...............................................................................172.3.2.1单指标聚类回归模型.................................................................................202.3.2.2多指标聚类回归模型.................................................................................202.3.3.1主成分分析法介绍.....................................................................................212.3.3.1.2主成分分析数学模型..........................................................................212.3.3.1.3主成分分析的求解原理......................................................................222.3.3.1.4主成分分析运用的判定条件.............................................................222.3.3.1.5确定主成分个数的方法......................................................................232.3.3.1.6确定权重计算综合得分......................................................................232.3.3.3.2主成分的确定............................................................................................242.3.3.3.3计算得分系数............................................................................................26三、模型的评价准则....................................................................................29四、模型的优缺点........................................................................................29五、参考文献...............................................................................................30六、附录......................................................................................................304洗衣粉去污功效研究摘要本文通过对86种产品的21个溶液属性数据和18中污渍的去污能力数据进行分析，建立了三大类反映溶液属性和去污能力之间关系的模型：一、利用逐步回归思想，选取单个及多个指标来代表所有指标，建立了单指标模型和多指标模型；二、利用聚类分析思想对庞大数据分类，再对各类数据利用逐步回归法，选择单个或者多个指标，建立单指标模型和多指标模型；三、利用主成分分析思想分别提取了21个溶液属性指标的4个主成分和18个去污功效指标的4个主成分，再运用多元统计分析的思想建立两类主成分之间的关系。其中，第二类模型是对第一类模型的改进和优化。对于前两类模型，本文使用MATLAB软件以及C++计算机编程进行求解。本文还提出了模型评价机制，利用该评价准则，从前两类模型的四个模型中选出了最优的模型：基于聚类分析思想的多指标逐步回归模型。回归的结果为：Y1=-2.34X2-0.93X3-0.21X9+1.11X17+29.73Y2=-0.0063X1+2.98X2+0.7466X8+58.76Y3=-0.11X9-0.5X16+25.809本文还利用剩余的10组数据对模型进行了检验，发现模型效果良好。对于缺失的数据，本文以补充后数据的标准差尽可能小的办法进行补充，有些选取的是均值，有些选取的是平方项，有些选取的是交互项。关键字：去污功效洗衣粉聚类分析主成分分析逐步回归5一、问题分析通过对96组产品进行分析，文中提供了21个衡量水溶液属性的因子和评价洗衣粉的去污效果的18个指标。题目要求我们通过这些数据设法得到最合理描述溶液属性和去污效果之间关系的模型。于是，我们面临着两大难题：如何从这么多的属性因子中挑选出最重要最相关的因子？怎样选取最有价值的去污衡量指标？通过聚类思想、主成分提取思想以及计算机编程，这两个问题被很好的解决。在此基础上，我们的模型也建立了起来。二、模型假设和建立2.1模型假设及变量说明在建立模型之前，我们将做出一些假设以使问题得到简化，并将我们文中使用的变量和符号进行说明。（1）以前86组数据为研究样本，后10组数据为检验样本不影响原始数据的分布规律；（2）相近的数据可以并为一类；（3）缺失的数据可以通过某种方式补齐（4）题目所给数据完全正确，不考虑实验误差和记录错误表格1变量说明表序号变量名含义1PP1——PP21溶液属性因子2O1——O18去污评价指标3ω1——ω18去污指标的权重4X1——X18Matlab程序中对应PP1——PP18的自变量5O综合的去污评价指标2.2缺失数据的补充经分析，PP02和PP03的缺失数据总是成对出现且缺失程度相同，不妨考虑用相同的方法进行研究。根据逐步回归的思想及matlab实现，O07、O05、O17是对PP02影响显的变量。6建立PP02关于O07、O05、O17的多元线性回归方程20117201318ppoooxmnypyqy(1)利用PP02、O07、O05、O17均完整的80组数据求解系数，可得0m=11.1,1n-0.14,p2=-0.026,3q0.067对于PP02缺失的6组数据，利用(1)式，即可完成预测(具体数据见附表)。经计算可知，对于预测前PP02完整的80组数据，其均值和标准差分别为对于预测后PP02完整的86组数据，其均值和标准差分别为-所以，用上述方法对PP02缺失的6组数据的预测是比较合适的。同理，知17、O01、O18是对PP03影响显著的变量。建立PP03关于O17、O01、O18的多元线性回归方程5015'ppppxddx20117201318ppoooxmnypyqy利用PP03、O17、O01、O18均完整的80组数据求解系数，可得7701235.6,0.16,0.029,0.099bbbb对于预测前PP03完整的80组数据，其均值和标准差分别为3=4.6231.99对于预测后PP03完整的86组数据，其均值和标准差分别为4=4.59,41.9近似相等，已经很吻合了。以下对PP04和PP05进行分析研究：用matlab画出PP4——PP5数据:7观察图01可知，PP04和PP05之间确实是存在较好的线性关系。利用此性质，可在PP04与PP05之间建立一个线性回归方程：4015ppppxmmx可得0m=0.4，1m=0.59如何对PP05的缺失数据做出合理预测呢？设PP05’表示PP04与PP06的线性组合：PP04+PP06。做出其散点图：8PP05和PP05’也存在较好的线性关系。利用此性质，可在PP05和PP05’之间建立一个线性回归方程：5015'ppppxddxXpp5=d0+d1c0+d1Xpp61−d1c1可推导出经计算可知，对于预测后PP04完整的86组数据，其均值和标准差分别为681.9，613.9对于预测前PP05完整的86组数据，其均值和标准差分别为7139.5，723.0所以，比较合适。92.3模型的建立2.3.1第Ⅰ类模型：逐步回归法在这里，我们认为描述溶液属性的18个因子中，仅有有限个因子对最终的去污效果有显著的作用。因此我们需要