不等式的各类题型归纳总结

不等式不等式的解法一、知识导学1.一元一次不等式axb(1)当a0时，解为abx；(2)当a＜0时，解为abx；(3)当a＝0，b≥0时无解；当a＝0，b＜0时，解为R．2.一元二次不等式：(如下表)其中a＞0，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两实根，且x1＜x23.简单的一元高次不等式：可用区间法(或称根轴法)求解，其步骤是：①将f(x)的最高次项的系数化为正数；②将f(x)分解为若干个一次因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；④根据曲线显示出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集.4.分式不等式：先整理成)()(xgxf＞0或)()(xgxf≥0的形式，转化为整式不等式求解，即：)()(xgxf＞0f(x)·g(x)＞0)()(xgxf≥00)x(g)x(f0)x(g0)x(f＞或然后用“根轴法”或化为不等式组求解.二、疑难知识导析1.不等式解法的基本思路解不等式的过程，实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原则，实际上高中阶段所解的不等式最后都要转化为一元一次不等式或一元二次不等式，所以等价转化是解不等式的主要思路.代数化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.为此，一要能熟练准确地解一元一次不等式和一元二次不等式，二要保证每步转化都要是等价变形.类型解集ax2+bx+c＞0ax2+bx+c≥0ax2+bx+c＜0ax2+bx+c≤0Δ＞0{x｜x＜x1或x＞x2}{x｜x≤x1或x≥x2}{x｜x1＜x＜x2}｛x｜x1≤x≤x2｝Δ＝0{x｜x≠-ab2，xR}RФ｛x｜x=-ab2｝Δ＜0RRΦΦ2.不等式组的解集是本组各不等式解集的交集，所以在解不等式组时，先要解出本组内各不等式的解集，然后取其交集，在取交集时，一定要利用数轴，将本组内各不等式的解集在同一数轴上表示出来，注意同一不等式解的示意线要一样高，不要将一个不等式解集的两个或几个区间误看成是两个或几个不等式的解集.3.集合的思想和方法在解不等式问题中有广泛的应用，其难点是区分何时取交集，何时取并集.解不等式的另一个难点是含字母系数的不等式求解—注意分类.三、经典例题导讲[例1]如果kx2+2kx－(k+2)0恒成立，则实数k的取值范围是＿＿＿.A.－1≤k≤0B.－1≤k0C.－1k≤0D.－1k0错解：由题意：0)]2([4)2(02kkkk解得：－1k0错因：将kx2+2kx－(k+2)0看成了一定是一元二次不等式，忽略了k＝0的情况.正解：当k＝0时，原不等式等价于－2＜0，显然恒成立，k＝0符合题意.当k0时，由题意：0)]2([4)2(02kkkk解得：－1k001k，故选C.[例2]命题:1Ax＜3，命题:(2)()Bxxa＜0，若A是B的充分不必要条件，则a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿A.(4,)B.4,C.(,4)D.,4错解：由｜x－1｜＜3得：－2＜x＜4，又由（x＋2）(x＋a)=0得x=－2或x＝－a,A是B的充分不必要条件,{x|－2＜x＜4}{x|－2＜x＜－a}－a4故选D.错因：忽略了a＝－4时，{x|－2＜x＜4}＝{x|－2＜x＜－a}，此时A是B的充要条件，不是充分不必要条件.正解：由｜x－1｜＜3得：－2＜x＜4，又由（x＋2）(x＋a)=0得x=－2或x＝－a,A是B的充分不必要条件,{x|－2＜x＜4}{x|－2＜x＜－a}－a4故选C.[例3]已知f(x)=ax+xb，若,6)2(3,0)1(3ff求)3(f的范围.错解：由条件得622303baba②①②×2－①156a③①×2－②得32338b④③+④得.343)3(310,34333310fba即错因：采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数bxaxxf)(，其值是同时受ba和制约的.当a取最大（小）值时，b不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的.正解：由题意有22)2()1(bafbaf,解得：)],2()1(2[32)],1()2(2[31ffbffa).1(95)2(91633)3(ffbaf把)1(f和)2(f的范围代入得.337)3(316f[例4]解不等式（x+2）2(x+3)(x－2)0错解：（x+2）20原不等式可化为：(x+3)(x－2)0原不等式的解集为｛x|x－3或x2｝错因:忽视了“”的含义，机械的将等式的运算性质套用到不等式运算中.正解：原不等式可化为：（x+2）2(x+3)(x－2)0①或（x+2）2(x+3)(x－2)0②，解①得：x=－3或x＝－2或x＝2解②得：x＜－3或x＞2原不等式的解集为｛x|x－3或x2或x2｝[例5]解关于x的不等式)()(abxbabxa解：将原不等式展开，整理得：)()(baabxba讨论：当ba时，babaabx)(当ba时，若ba≥0时x；若ba0时Rx当ba时，babaabx)(点评：在解一次不等式时，要讨论一次项系数的符号.[例6]关于x的不等式02cbxax的解集为}212|{xxx或求关于x的不等式02cbxax的解集．解：由题设知0a，且21,2xx是方程02cbxax的两根∴25ab，1ac从而02cbxax可以变形为02acxabx即：01252xx∴221x点评：二次不等式的解集与二次方程的根之间的联系是解本题的关健，这也体现了方程思想在解题中的简单应用.[例7]不等式3)61(log2xx的解集为解：∵3)61(log2xx，∴0＜168xx，∴12160xxxx∴0x2232231,0或或xxx解得(322,322)1x反思：在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1大,有的比1小；,(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等.四、典型习题导练1.解不等式0322322xxxx2.解不等式62323xxx3.解不等式0)2)(54(22xxxx4.解不等式0)2)(1()1()2(32xxxx5.解不等式1116xx6.k为何值时，下式恒成立：13642222xxkkxx7.解不等式0343xx8.解不等式24622xxx§5.2简单的线性规划一、知识导学1.目标函数:Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3.整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5.整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．3.平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.三、经典例题导讲[例1]．画出不等式组10236010220xyxyxyxy表示的平面区域.错解：如图（1）所示阴影部分即为不等式组10236010220xyxyxyxy表示的平面区域.错因一是实虚线不清，二是部分不等式所表示的平面区域弄错了.正解：如图（2）所示阴影部分即为不等式组10236010220xyxyxyxy表示的平面区域.[例2]已知1x－y2,且2x+y4,求4x－2y的范围.错解：由于1x－y2①,2x+y4②,①+②得32x6③①×(－1)+②得：02y3④.③×2+④×(－1)得.34x－2y12错因：可行域范围扩大了.正解：线性约束条件是：4yx22y-x1令z＝4x－2y，画出可行域如右图所示，由2yx1y-x得A点坐标（1.5，0.5）此时z＝4×1.5－2×0.5＝5.由4yx2y-x得B点坐标（3，1）此时z＝4×3－2×1＝10.54x－2y10[例3]已知0104011702357yxyxyx,求x2+y2的最值.错解：不等式组0104011702357yxyxyx表示的平面区域如右图所示ABC的内部（包括边界），令z=x2+y2由010402357yxyx得A点坐标（4，1），此时z＝x2+y2＝42+12＝17，由010402357yxyx得B点坐标（－1，－6），此时z＝x2+y2＝（－1）2+(－6)2＝37，由01040117yxyx得C点坐标（－3，2），此时z＝x2+y2＝（－3）2+22＝13，当61yx时x2+y2取得最大值37，当23yx时x2+y2取得最小值13.错因：误将求可行域内的点到原点的距离的平方的最值误认为是求三点A、B、C到原点的距离的平方的最值.正解：不等式组0104011702357yxyxyx表示的平面区域如图所示ABC的内部（包括边界），令z=x2+y2,则z即为点（x，y）到原点的距离的平方.由010402357yxyx得A点坐标（4，1），此时z＝x2+y2＝42+12＝17，由010402357yxyx得B点坐标（－1，－6），此时z＝x2+y2＝（－1）2+(－6)2＝37，由01040117yxyx得C点坐标（－3，2），此时z＝x2+y2＝（－3）2+22＝13，而在原点处，00yx，此时z＝x2+y2＝02+02＝0，当61yx时x2+y2取得最大值37，当00yx时x2+y2取得最小值0.[例4]某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m3，五合板2m2，生产每个书橱需要方木料0.2m3，五合板1m2，出售一