不等式的积分法微分法

数学系数学与应用数学2010级毕业论文第1页共17页1.不等式证明的积分法不等式证明的积分法是利用积分的定义，性质，以及用一些特殊的积分不等式来证明不等式。1.1定积的概念例1设xf在1,0连续，证明1010)]([ln)(lndxxfdxxf证明将1,0区间进行n等分，取nxi1因为nnininifnifn111)()(1两边取对数得nininifnnnif11)(ln1]1)(ln[两边在n时取极限得]1)([limln]1)(ln[lim11nnifnnifninnin10110)]([ln)(ln1lim)(lndxxfnifndxxfnin1010)]([ln)(lndxxfdxxf1.2积分中值定理法积分中值定理如果函数)(xf在],[ba上连续，则在],[ba内至少存在一点，使得))(()(abfdxxfba例2试证当ba0时，221arctanarctan1aababbab.证明因为abxdxxbabaarctanarctanarctan112令211)(xxf由积分中值定理有数学系数学与应用数学2010级毕业论文第2页共17页)(111122abdxxba)(ba即)(11arctanarctan2abab因为ba所以221arctanarctan1aababbab.1.3原函数法例3设)(xf在]1,0[上连续，取正值且单调减少，证明baadxxfadxxfb)()(0)10(ba因为单调减少证明做辅助函数，令xaaaxdttfadttfxxF)(,)()()(0则aaaadtxftfdtxfdttfxafdttfxF0000)]()([)()()()()(故0)()(xftf)0(xat则0)(xF，由)(xF单调增加，有0)()()(0adttfaaFbF则baadxxfadxxfb)()(0成立例4证明0x时，1206sin6533xxxxxx证明已知不等式1cosx（0x只有当nx2时，等号成立）在次是两端同时取],0[x上的积分，得)0(sinxxx再取],0[x上的积分得2cos12xx第三次取],0[x上的积分，可得数学系数学与应用数学2010级毕业论文第3页共17页)0(6sin3xxxx即)0(sin63xxxx继续在],0[x上积分两次，可得1206sin53xxxx)0(x.总结：当命题中出现条件)(xf在],[ba上连续时可构造积分上限函数，将数值不等式（定积分不等式）转化为积分上限（函数不等式），然后利用单调性或定积分的性质解题[2]。1.4定积分保号性法性质设)(),(xgxf在区间上],[ba都是可积函数，假设在区间],[ba满足)()(xgxf则有babadxxgdxxf)()(例5求证：)1)(21ln()1ln(2122xxxx证明因为211121212xtdtttxx)21ln()1ln()1ln(1121212xxttdttxx又因为1t，所以22111ttt由上述性质有xxdxtdxtt1212111即)1)(21ln()1ln(2122xxxx.总结：在使用上述性质来证明不等式的时候，我们可以将不等式两端的式子表示成同一积分区数学系数学与应用数学2010级毕业论文第4页共17页间下的两个函数的定积分来计算，此时我们只要比较这两个函数在这一区间内的大小，利用定积分的性质来证明即可[3]。1.5二重积分性质法例6设)(),(xgxf均为上的单调不减连续函数证明bababadxxgdxxfdxxgxfab)()()()()(证明由于)(),(xgxf同为单调不减函数令)]()()][()([),(ygxgyfxfyxF总有0)]()()][()([ygxgyfxf由二重积分的保序性有babadxdyygyfygxfxgyfxgxf0)]()()()()()()()([即dxdyxgyfdxdyygxfdxdyxgxfbabababababa)()()()()()(2于是bababababadxxgdxxfdyygdxxfdxxgxfab)()()()()()()(2.不等式证明的微分法不等式证明的微分法是利用微分学的一些知识来证明不等式，主要有以下几个方面：一是应用中值定理或泰勒公式;二是考察函数的单调性或极值;三是考察函数的凹凸性。2.1微分定义法从定义出发证明不等式是比较原始的做法，不容易被人想到，但在证明某些不等式时却行之有效。例7设nxaxaxaxfnsin2sinsin)(21，且xxfsin)(，试证1221nnaaa分析观察命题的条件与结论,从导数的定义出发,结合重要极限的结论,解题方便简捷。证明因为nxnaxaxaxfncos2cos2cos)(21则0)0(f，nnaaaf212)0(由导数定义数学系数学与应用数学2010级毕业论文第5页共17页xxfxfxffxx)(lim0)0()(lim)0(00所以xxfxxffxx)(lim)(lim)0(001sinlim0xxx即1221nnaaa.总结：用导数定义证明不等式，此方法适用范围不广，解题时应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系，有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的[6]。2.2函数单调性法函数的单调性在微积分中主要用函数的导数来判定。定理设函数xf在区间ba,上可导如果对任意的bax,,恒有0xf（或0xf），则xf在ba,内单调递增（或单调递减）。例8求证，当0x时有!3sin3xxx证明设!3sin)(3xxxxf因为21cos)(2xxxf无法判定)(xf的符号,又因为xxxfsin)(而0x时xxsin所以0)(xf（只当0x时等号成立）所以)(xf在),0(单调增加即)0(0)0()(xfxf，0)(xf从而)(xf在),0(单调增加所以0)0()(,0fxfx故!3sin3xxx.数学系数学与应用数学2010级毕业论文第6页共17页例9求证bbaababa111证明设xxxf1)(则2)1(1)(xxf由于0)1(1)(2xxf所以xxxf1)(是增函数，又因为baba所以babbaababababa1111bbaa11.例10设0ab，证明baabab)(2ln证明要证原不等式成立只需证明)(2))(ln(lnbabaab令)(2))(ln(ln)(babaabxf，)(ax则2)ln(ln)(1)(axxaxxfaxxaxxxaxf01)(22所以)(xf单调递增又因为0)(af，于是)(0)(axxf因此)(xf单调递增，又因为0)(af所以当0ab时有0)()(afbf从而有0)(2))(ln(lnbabaab故baabab)(2ln.总结：利用函数的单调性证明不等式时，首先要根据不等式构造函数，在构造辅助函数时，要数学系数学与应用数学2010级毕业论文第7页共17页求不等式两边的函数必须求导；所构造的辅助函数)(xf要在某闭区间上连续，在开区间内可导，且在某闭区间端点处函数值为0，然后通过开区间内)(xf的符号来判断)(xf在闭区间上的单调性。有时需要使用该符号的高阶导数来确定)(xf的符号[4]。2.3微分中值定理法拉格朗日中值定理如果函数)(xf满足条件：（1）在闭区间ba,上连续，（2）在开区间ba,内可导，则至少存在一点ba,，使得abafbff)()(柯西中值定理如果函数)(xf，)(xg满足条件：（1）在闭区间ba,上连续，（2）在开区间ba,内可导，（3）在ba,内每一点处，0)(xg，则至少存在一点ba,，使得)()()()()()(gfbgagbfaf.例11若0x，试证xxxx)1ln(1证明设)1ln()(xxf)0x（因为)(xf在x,0上满足拉格朗日定理所以xxxxf)1ln(0)01ln()1ln(11)()0(x又因为x111所以11111x从而1)1ln(11xxx即xxxx)1ln(1例12设0ab，证明不等式abababbaa1lnln222证明先证左边的不等式，设)0(ln)(axxxf数学系数学与应用数学2010级毕业论文第8页共17页根据拉格朗日中值定理得[5]baxababx,1)(lnlnln因为22211baab,又abba222所以ababbaalnln222再证右边的不等式，设)0(lnln)(axaxaxaxxh则0)(ah，且02)(1)221(1)(2axxaxxxxaxaxh于是0)(xh所以)(xh单调递增故当0ax时0)0()(hxh特别地，令bx则有0)(bh即ababab1lnln所以原不等式成立.例13设)()(xgxf、都是可导函数，且)()(xgxf证明：当ax时，)()()()(agxgafxf证明因为0)()(xfxg故函数)(xg单调增加数学系数学与应用数学2010级毕业论文第9页共17页所以当)()(agxg时，即0)()(agxg又)()(xgxf、在xa,)(ax上满足柯西中值定理条件故由柯西中值定理知),(,)()()()()()(bagfagxgafxf从而1)(|)(|)()(|)()(|gfagxgafxf故原不等式成立[6].例14设2ebae，证明2224lnlneabab证明设函数xxgxxf)(,ln)(2则1)(,ln2)(xgxxxf在ba,上由柯西中值定理有)(ln2lnln22baabab设ttthln2)(，考察2)ln1(2)(ttth当et时，0ln1t，从而0)(th，说明)(th在et时单调递减，所以)()(2ehh即2222lnlneee，故2224lnlneabab总结:利用微分中值定理证明不等式时,要抓住定理的核心,在满足定理的两个条件的情况下,主要是利用“存在一点),(ba”即ba来确定不等式关系,关键是根据abafbff)()()(对照要证的不等式来确定函数)(xf和区间ba,,根据要证明结论的需要,数学系数学与应用数学2010级毕业论文第10页共17页对)(f进行适当的放缩[7]。2.4函数极值与最值法定理设)(xf在0x的某邻域内可导，且0)(,0)(xfxf，则)(i若0)(xf，则)(xf在0x处取极大值；)(ii若0)(xf，则)(xf在0x处取极小值。例15当1x，证明xex11.证明设xexfx11)(令0)1(1)(2xexfx得0x，3)1(2)(xexfx，01)0(f故函数在1x处取得极大值即0)1()(fxf故不等